vizekit

Bu kalıp ücretsiz, kayıt yok. Paketin tamamı: 6 kalıp, hepsinin videosu, 5 ünite, prova, asistan. 999 TL, iade hakkıyla.

Kalıp 2 / 6 · MATH 101 · ücretsiz

İlişkili hızlar: önce bağıntı, sonra türev

Related rates · 20–25 puan

Tam soru · 5/5 MT1 (2021-22'den beri her sınavda; 3. ya da 4. soru)

Tüm paketi gör Etkileşimli hali: işaretle, asistana sor MATH 101 ara sınav rehberi

Kalıp videosu · 7:34

Videonun metni

MATH 101 MT1. Son 5 sınavın 5'inde de bir ilişkili hızlar sorusu var. Hem de tam soru. Sahne her yıl başka: iki fener, dik üçgen, ip ve makara, parabolün teğeti, bir de bilinmeyen bir f. Toplamda 500 puanın 120'si buradan. Alt şık yok, tek parça, 20–25 puan. İkisi ters soruydu: hızlar veriliyor, uzunluk soruluyor. Onu da bu videoda çözeceğiz. Sahne değişiyor ama tarif hiç değişmiyor.

Videonun sonunda bu gemi sorusunu tam puanla çözeceksin. Önce soruyu nasıl tanırsın? Beş işaret var. İlk ikisi birlikteyse, bu ilişkili hızlar. Bir: fiiller. Is increasing at, how fast, at a certain moment. İki: birden çok büyüklük aynı anda değişiyor, ve hepsi tek bir anda soruluyor. Üç: altta köşeli parantezli bir not. Zamana bağlılık hakkında hiçbir şey varsayma. Dört: ters soru. Bütün verilenler hız, istenen ise o anki bir uzunluk.

Beş: sahne. Dik üçgen, iki gözlem noktası, ip ve makara, gölge, eğri üzerinde hareket eden nokta. Tarif beş adım, her yıl aynı. Kalemi alalım. Isınma: 13 metrelik bir merdiven duvardan kayıyor. Birinci adım: şekli çiz, değişen her şeye harf ver. Ayağın duvara uzaklığı x, tepenin yüksekliği y.

Verilen hızı türev olarak yaz: x' = 1/2 m/s. O anın sayısı, x = 5, şekle değil listeye. İkinci adım: her an geçerli bağıntı. Pisagor: x² + y² = 13². Üçüncü adım: iki tarafı t'ye göre türevle. 2x x' + 2y y' = 0. Dördüncü adım: şimdi o anın sayıları. Önce eksik uzunluk: y = √(169 − 25) = 12. Türevli denkleme koy: 5 · ½ + 12 y' = 0. Beşinci adım: çöz ve cümleye çevir. y' = −5/24 m/s. Negatif, yani tepe aşağı kayıyor.

Şimdi gerçek sınav formatı. Yirmi beş puan, iki gemi, aralarında altmış derece. Gerçek sınavda bu tek parça gelir. Biz dörde böldük ki hangi satır kaç puan, göresin. Okuyalım. Limandan iki düz rota çıkıyor, aralarındaki açı altmış derece ve sabit. a ve b, gemilerin limana uzaklığı. D de gemiler arası uzaklık. Üçü de değişiyor. O an a = 3, ve saatte 20 km artıyor. Yani a' = +20. b = 5, ve saatte 10 km azalıyor. Azalıyorsa eksi: b' = −10.

Ve o imza not: zamana bağlılık hakkında hiçbir şey varsayma. Elinde sadece o anın değerleri var. Sorulan: D'nin bağıntısı ve değeri, D'nin değişim hızı, üçgenin alanının hızı, bir de ters soru: a kaç? (a) şıkkı, 6 puan. Açı 60°, karşı kenar D: kosinüs teoremi. cos 60° = ½, yani −ab. O an: 9 + 25 − 15 = 19. D = √19 km.

(b) şıkkı, 8 puan. Kökü değil, karesini türevle. Kareler 2D D' verir, ab çarpımı çarpım kuralına girer. Sayıları koy. 2·3·20 = 120. 2·5·(−10) = −100. Parantez: 20·5 + 3·(−10) = 70. Toplam −50. Bu satır 3 puan. D' = −25/√19 ≈ −5.7 km/h. Negatif: gemiler birbirine yaklaşıyor. Cevabı cümleyle yaz, decreasing. Son puan bu.

(c) şıkkı, 5 puan. Alan: ½ ab sin 60°, yani (√3/4) ab. Türev, çarpım kuralı. Parantez tanıdık: a'b + ab', az önce 70 bulduk. 35√3/2 km²/h. Pozitif, alan büyüyor. (d) şıkkı, 6 puan, ters soru. D değişmiyor, yani D' = 0. b = 4, hızlar aynı. Türevli denkleme koy: 40a − 80 − (80 − 10a). Toplam 50a − 160. a = 16/5 = 3.2 km.

Sağlama: a = 3.2 > 0, uzunluk olabilir. D² = 13.44 > 0. 25'te 25. Kısayol: kökü değil, karesini türevle. D'yi kökle yazıp türev alırsan, ifade böyle çirkinleşir. Karesini türevle: kök yok, kosinüs bağıntısı olduğu gibi türevlenir. Kök sadece en sonda, D'nin değeri olarak girer. Dik üçgende ya da iki noktaya uzaklıkta çarpım terimi yok: DD' = uu' + vv'.

İki fener sorusu da bu. Puanlamada güvenli mi? Evet, tam puan. Resmî çözüm de böyle yapıyor. Tek şart: türevden önce "D² = …" satırını yaz, okuyucu bağıntıyı görsün. Puanı nerede kaybediyorsun? İki hata, bir taktik. Bir: sayıları türevden önce koymak. O an b = 5 diye bağıntıya 5 yazarsan, b' kaybolur. Cevap çöker. Sayılar dördüncü adımda girer. Önce bağıntı, sonra türev, en son o anın sayıları.

İki: işaret. "Decreasing at 10" demek b' = −10. Sonuç negatifse cümleyle yaz: decreasing at, ve birimi ekle. Eksiyi kutuda yalnız bırakma. Taktik: bu soruya 22–25 dakika. İlk 5 dakikada şekil, harfler ve verilen türevler kâğıtta olsun. Takıldıysan son satıra yaz: "D'yü (3)'ten çözeriz". Kurulum puanını böyle kurtarırsın. Yarım dakikada özet. "How fast", "at a certain moment": ilişkili hızlar, tam soru, 25 puan.

Harf ver, her an geçerli bağıntıyı yaz, te'ye göre türevle. Sayılar en son girer, azalan hız eksi. Ters soruda türevli denklem genelde doğrusal çıkar. Kalıbın tamamı ve benzer sorular vize.ozai.info'da. Sınavda görüşürüz.

Verilen: bir anda bazı uzunluklar ve bazı büyüklüklerin değişim hızları (azalıyorsa eksi). İstenen: başka bir büyüklüğün o andaki değişim hızı; ters soruda tersi: hızlar verili, o anki boyut isteniyor. Köprü her zaman aynı: her an geçerli bir geometrik bağıntı ve onun $t$ 'ye göre türevi.

Nasıl tanırsın

Fiiller: is increasing / decreasing at a rate of, how fast, at a certain moment, at this same moment
Birden çok değişen büyüklük (uzunluk, açı, alan, hacim) ve hepsi tek bir anda soruluyor; birimler km/h, cm/s, cm²/s
Altta köşeli parantezli not: Do not assume anything about how the quantities … depend on time. Bu not Sertöz'ün related rates imzası
Ters soru: bütün verilenler hız, istenen bir uzunluk (find the length of the shortest side, find all possible values of the $x$ -coordinate)
Geometri sahneleri: dik üçgen, iki gözlem noktası, ip + makara, gölge, eğri üzerinde hareket eden nokta ve teğeti

Reçete: her yıl aynı adımlar

Şekli çiz, değişen her büyüklüğe harf ver. O anın sayılarını şekle yazma; sadece harfler. Gerçekten sabit olanlar (iki fener arası 3 km, ipin boyu, $60^\circ$ 'lik yol açısı) sayı kalabilir. Verilen her hızı türev olarak, işaretiyle listele.

$a'=\frac{da}{dt}=20,\qquad b'=\frac{db}{dt}=-10\ \ (\text{azalıyor})$
≈20% (değişken tanımı + verilenler; resmî çözüm bununla başlar)
Her an geçerli bağıntıyı yaz: Pisagor, kosinüs teoremi, benzer üçgen, alan/hacim formülü, ip uzunluğu. Bağıntıda o anın sayıları yok.

$D^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ=a^2+b^2-ab$
≈25%
Bağıntının iki tarafını $t$ 'ye göre türevle. Her harf $t$ 'nin fonksiyonu: kareler $2a\,a'$ verir, çarpımlar çarpım kuralına girer. Karekökü türevleme; karesini türevle.

$2D\,D'=2a\,a'+2b\,b'-(a'b+ab')$
≈20%
Şimdi o anın değerlerini koy. Eksik uzunluğu (burada $D$ ) türevlenmemiş bağıntıdan bul. Ters soruda türevli denklemler bilinmeyen boyutlarda doğrusal çıkar: önce onları çöz, sonra bağıntıya koy, çıkan kökleri fiziksel anlamla ele.

$D^2=9+25-15=19\;\Rightarrow\;D=\sqrt{19}$
≈20%
İsteneni çöz ve cümleye çevir: işaret, birim ve "increasing / decreasing". Okuyucu son satırda bunu arar.

$D'=\frac{-50}{2\sqrt{19}}=-\frac{25}{\sqrt{19}}\ \text{km/h}\;\Rightarrow\;\text{decreasing}$
≈15% (cevap + birim + yön)

Kısayol

Kökü değil karesini türevle

Uzaklık $D=\sqrt{u^2+v^2}$ ise türevi karekökten alma; $D^2=u^2+v^2$ yaz ve türevle:
$D\,D'=u\,u'+v\,v'$
İkiler sadeleşir, kök sadece sonda $D$ 'nin değeri olarak girer. Kosinüs teoremi ve iki noktaya uzaklık (2025-26 fenerler) da aynı.

Puanlamada güvenli mi?

Tam puan; resmî çözüm de böyle yapıyor. Sadece " $D^2=\dots$ " satırını türevden önce yaz ki okuyucu bağıntıyı görsün.

Çarpımda türevi bağıntıya böl

Bağıntı çarpımsa (alan $A=\tfrac12xy$ , hacim $V=\pi r^2h$ ) türevi bağıntının kendisine böl:
$\frac{V'}{V}=2\frac{r'}{r}+\frac{h'}{h}$
Yüzdelerle düşünmek gibi: sayılar küçük kalır, hata payı azalır.

Puanlamada güvenli mi?

Tam puan, ama önce normal çarpım kuralı satırını yaz, sonra böl. $\ln$ yazma; logaritma MT1 kapsamında değil.

Ters soruda doğrusal denklemleri önce çöz

2024-25 tipi: hızlar sayı, kenarlar bilinmeyen. Türevlenmiş denklemler kenarlarda doğrusal çıkar (ör. $\tfrac12(x'y+xy')=A'$ , $x\,x'+y\,y'=z\,z'$ ). Bunlardan iki kenarı üçüncüsü cinsinden yaz, sonra Pisagor'a koy: tek bir ikinci derece denklem kalır.

Puanlamada güvenli mi?

Tam puan. İki kök çıkarsa ikisini de yaz, sahte olanı "kenar pozitif olmalı" diye gerekçeyle ele (ünite pratiğindeki dikdörtgen sorusunun (c) şıkkında olduğu gibi).

Sabit ışıkta gölge orantısı

Lamba sabit yükseklikte $H$ ise benzer üçgenlerden gölge $L=\dfrac{h\,x}{H-h}$ , yani $x$ ile doğru orantılı: $L'=\dfrac{h}{H-h}\,x'$ . Tek satır.

Puanlamada güvenli mi?

Yalnız ışık kaynağı sabitken. Kaynak da hareket ediyorsa (merdivenin 3. basamağı) $H$ da değişken, iki değişkenli türev şart.

Yıldan yıla değişen ne?

Geometri

iki fener + kıyıya dik uzaklık (2025-26), dik üçgen (2024-25), makara + ip (2023-24), parabol + teğet üçgeni (2022-23), bilinmeyen $f$ 'nin teğetleri (2021-22)

→

Yalnız Adım 2'deki bağıntı değişiyor. Beş yılda beş farklı sahne, tarif hep aynı.

Yön: ileri mi, ters mi?

ileri, hız isteniyor (2025-26, 2023-24, 2021-22); ters, boyut isteniyor (2024-25, 2022-23)

→

Ters soruda Adım 4 bir denklem sistemine dönüşür ve birden çok kök çıkar; sahte olanı gerekçesiyle ele.

Bilinmeyen sayısı

2025-26'da $x$ , $y$ ve iki uzaklık; 2024-25'te iki kenar, dört hız; 2023-24'te iki araba + makara yüksekliği

→

Değişken arttıkça Adım 1'deki liste uzar. Liste eksikse bağıntı kurulamaz, soru orada kilitlenir.

Henüz gelmeyen

gözlem açısı ( $\tan\theta$ ), $90^\circ$ olmayan iki yol (kosinüs teoremi), hareketli ışıkla gölge, koni ya da silindir tank

→

Hepsi Adım 2'de başka bir bağıntı. Açı gelirse türevde $\sec^2\theta\,\theta'$ çıkar; $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ 'dan hesapla.

Merdiven: ısınma → sınav → twist

Basamak 1ısınma

A $13$ m ladder leans against a vertical wall on level ground. Its foot slides away from the wall at $0.5$ m/s while its top stays on the wall. Let $x$ be the distance from the foot of the ladder to the wall and $y$ the height of its top above the ground. At a certain moment $x=5$ .

(a) [10 pts] How fast is the top of the ladder moving at that moment? Is it moving up or down?
(b) [10 pts] Let $\theta$ be the angle between the ladder and the ground. How fast is $\theta$ changing at that moment?

Cevapları göster

(a)

dy/dt = −5/24 m/s: the top slides down at 5/24 m/s

(b)

dθ/dt = −1/24 rad/s (decreasing)

Tam çözüm

Adım 1 · harfler. $x$ = ayağın duvara uzaklığı, $y$ = tepenin yüksekliği. Verilen: $x'=\tfrac12$ m/s. O an $x=5$ . Merdivenin boyu sabit: $13$ sayı kalabilir.

(a) [10 pts]
Adım 2 · bağıntı (her an): $x^2+y^2=13^2$ .
Adım 3 · türev: $2x\,x'+2y\,y'=0\;\Rightarrow\;x\,x'+y\,y'=0$ .
Adım 4 · o an: $y=\sqrt{169-25}=12$ m.
$5\cdot\frac12+12\,y'=0\;\Rightarrow\;y'=-\frac{5}{24}\ \text{m/s}$
Adım 5: negatif: tepe $\frac{5}{24}$ m/s ( $\approx0.21$ m/s) ile aşağı kayıyor.

(b) [10 pts]
Bağıntı: $\cos\theta=\dfrac{x}{13}$ .
Türev: $-\sin\theta\,\theta'=\dfrac{x'}{13}$ .
O an: $\sin\theta=\dfrac{y}{13}=\dfrac{12}{13}$ :
$-\frac{12}{13}\,\theta'=\frac{1/2}{13}\;\Rightarrow\;\theta'=-\frac{1}{24}\ \text{rad/s}$
Negatif: açı azalıyor (merdiven yatıyor).

Sağlama: $\tan\theta=\frac yx$ ile de çözülür: $\sec^2\theta\,\theta'=\frac{y'x-y\,x'}{x^2}=\frac{-\frac{25}{24}-6}{25}$ , $\sec^2\theta=\frac{169}{25}$ → $\theta'=-\frac{1}{24}$ ✓.

Basamak 2sınav

Two straight shipping lanes leave a port $P$ and make an angle of $60^\circ$ with each other. Ship $A$ moves along the first lane and ship $B$ along the second. Let $a$ and $b$ be the distances (in km) of $A$ and $B$ from $P$ , and let $D$ be the distance between the ships. At a certain moment, $a=3$ and $a$ is increasing at $20$ km/h, while $b=5$ and $b$ is decreasing at $10$ km/h.

[Use only the information given; do not assume anything else about how these quantities depend on time.]

(a) [6 pts] Write an equation relating $D$ , $a$ and $b$ that holds at all times, and find $D$ at that moment.
(b) [8 pts] How fast is $D$ changing at that moment? Is the distance between the ships increasing or decreasing?
(c) [5 pts] How fast is the area of the triangle $PAB$ changing at that moment?
(d) [6 pts] At some other moment, $b=4$ , $a$ is increasing at $20$ km/h, $b$ is decreasing at $10$ km/h, and $D$ is momentarily not changing. Find $a$ at that moment.

Cevapları göster

(a)

D² = a² + b² − ab; D = √19 km

(b)

dD/dt = −25/√19 km/h ≈ −5.7 km/h (decreasing)

(c)

dS/dt = 35√3/2 km²/h

(d)

a = 16/5 = 3.2 km

Tam çözüm

Adım 1 · harfler ve verilenler. $a'=20$ , $b'=-10$ (km/h; $b$ azalıyor, eksi). O an $a=3$ , $b=5$ . Rotalar arası açı sabit $60^\circ$ , o yüzden sayı kalabilir.

(a) [6 pts] Adım 2 · kosinüs teoremi (her an):
$D^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab$
O an: $D^2=9+25-15=19$ , yani $D=\sqrt{19}$ km.

(b) [8 pts] Adım 3 · türev:
$2D\,D'=2a\,a'+2b\,b'-(a'b+a\,b')$
Adım 4 · o an:
$2\sqrt{19}\,D'=2\cdot3\cdot20+2\cdot5\cdot(-10)-\big(20\cdot5+3\cdot(-10)\big)=120-100-70=-50$
$D'=-\frac{25}{\sqrt{19}}\ \text{km/h}\ \approx-5.7\ \text{km/h}$
Adım 5: gemiler arası uzaklık $\frac{25}{\sqrt{19}}$ km/h ile azalıyor.

(c) [5 pts] Alan (her an): $S=\tfrac12ab\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{4}ab$ .
$S'=\frac{\sqrt3}{4}\,(a'b+a\,b')=\frac{\sqrt3}{4}\,(100-30)=\frac{35\sqrt3}{2}\ \text{km}^2/\text{h}$
Alan artıyor.

(d) [6 pts] Ters soru. $D'=0$ ise (b)'deki türevli denklemin sol tarafı sıfır:
$0=2a\cdot20+2\cdot4\cdot(-10)-\big(20\cdot4+a\cdot(-10)\big)=50a-160$
$a=\frac{16}{5}=3.2\ \text{km}$
Sağlama: $D^2=3.2^2+16-12.8=13.44\gt0$ , böyle bir üçgen var ✓. Denklem $a$ 'da doğrusal çıktı; ters sorularda türevli denklem hep bilinmeyen boyutlarda doğrusaldır.

Basamak 3twist

A drone carrying a small lamp hovers on the vertical line through a point $O$ on flat ground; let $H$ be the height of the lamp. A child of height $1.5$ m walks on the ground along a straight line through $O$ , away from $O$ ; let $x$ be the child's distance from $O$ (all lengths in m). At a certain moment $H=6$ and the drone is descending at $1$ m/s, while $x=9$ and the child is walking away from $O$ at $1.5$ m/s.

(a) [6 pts] Let $L$ be the length of the child's shadow. Show that $L=\dfrac{3x}{2H-3}$ at all times.
(b) [9 pts] How fast is $L$ changing at that moment?
(c) [4 pts] How fast is the tip $S$ of the shadow moving away from $O$ at that moment?
(d) [6 pts] Suppose instead that at that moment ( $H=6$ , $x=9$ , child walking away at $1.5$ m/s) the length of the shadow is not changing. What is the vertical velocity of the drone? Is it rising or descending?

Cevapları göster

(a)

Similar triangles: H/(x + L) = 1.5/L ⇒ L = 3x/(2H − 3)

(b)

dL/dt = 7/6 m/s (lengthening)

(c)

8/3 m/s

(d)

dH/dt = +3/4 m/s: the drone is rising

Tam çözüm

Twist: ışık kaynağı da hareket ediyor. Sabit lamba kısayolu ( $L'$ sadece $x'$ 'ye bağlı) burada yanlış sonuç verir; $H$ de değişken.

Adım 1. $H'=-1$ (alçalıyor), $x'=\tfrac32$ . O an $H=6$ , $x=9$ .

(a) [6 pts] Adım 2 · benzer üçgenler. Lambadan gölgenin ucuna giden ışın çocuğun başını sıyırıyor. Büyük üçgen: yükseklik $H$ , taban $x+L$ . Küçük üçgen: yükseklik $\tfrac32$ , taban $L$ .
$\frac{H}{x+L}=\frac{3/2}{L}\;\Rightarrow\;HL=\tfrac32x+\tfrac32L\;\Rightarrow\;L=\frac{\tfrac32x}{H-\tfrac32}=\frac{3x}{2H-3}$

(b) [9 pts] Adım 3 · türev (bölüm kuralı, iki değişken):
$L'=\frac{3x'(2H-3)-3x\cdot2H'}{(2H-3)^2}$
Adım 4 · o an: $2H-3=9$ .
$L'=\frac{3\cdot\tfrac32\cdot9-3\cdot9\cdot2\cdot(-1)}{81}=\frac{\tfrac{81}{2}+54}{81}=\frac{189/2}{81}=\frac76\ \text{m/s}$
Gölge $\frac76$ m/s ile uzuyor. (O an $L=27/9=3$ m.)

Karşılaştır: lamba sabit olsaydı $L'=\frac{3x'}{2H-3}=\frac{4.5}{9}=\frac12$ m/s olurdu. Fark, lambanın alçalmasından geliyor.

(c) [4 pts] Gölgenin ucu $O$ 'dan $s=x+L$ uzakta:
$s'=x'+L'=\frac32+\frac76=\frac83\ \text{m/s}$

(d) [6 pts] Ters soru. $L'=0$ ise payı sıfır:
$3x'(2H-3)=6x\,H'\;\Rightarrow\;H'=\frac{x'(2H-3)}{2x}=\frac{\tfrac32\cdot9}{18}=\frac34\ \text{m/s}$
Pozitif: drone $\frac34$ m/s ile yükseliyor olmalı. Mantıklı: çocuk uzaklaştıkça gölge uzamak ister, lambanın yükselmesi bunu dengeler.

Bu kalıp hangi sınavda nasıl geldi

2025-26 Güz · S4
Düz bir kıyıda 3 km arayla iki fener; geminin her fenere uzaklığı ve bu uzaklıkların artış hızı verili. İstenen: geminin kıyıya olan dik uzaklığının değişim hızı. Kıyıyı $x$ ekseni alınca iki Pisagor bağıntısı çıkıyor; o anki $x$ ve $y$ uzaklıklardan çözülüyor, sonra türevli denklemlerden $y'$ . Altında "zamana bağlılık hakkında hiçbir şey varsayma" notu.
2024-25 Güz · S3
Ters soru. Dik üçgenin iki dik kenarının, hipotenüsün ve alanın değişim hızları verili; hiçbir uzunluk verilmemiş. İstenen: o anki en kısa kenar. Türevlenmiş Pisagor ve alan denklemleri bilinmeyen kenarlarda doğrusal; onlarla Pisagor'u birlikte çöz.
2023-24 Güz · S4
Sabit uzunluklu ip, düşey bir doğru boyunca hareket eden makaradan geçip yerdeki iki arabaya bağlı. İki Pisagor + "ip boyu sabit" bağıntısı; makaranın ve bir arabanın hızından öbür arabanın uzaklığının değişim hızı. Şekil kâğıtta verili.
2022-23 Güz · S3
Ters soru, eğri üzerinde. Bir parabol üzerindeki $P$ noktasının teğeti ve $x$ eksenine dikmesi bir üçgen oluşturuyor; alanın azalma hızı ve $P$ 'nin $x$ koordinatının artış hızı verili, istenen $P$ 'nin olası $x$ değerleri. Kurulumda teğetin $x$ eksenini kestiği nokta lazım (K4 becerisi), sonra alan $A(x)$ ve zincir kuralı.
2021-22 Güz · S3
Uzunluk yok, soyut sürüm. Bilinmeyen bir $f$ 'nin grafiğinde hareket eden $P$ ve $Q$ ; $P$ 'deki teğet her an $Q$ 'dan geçiyor. İki teğet doğrusunun denklemi ve iki $x$ hızı verili, istenen $f''(2)$ . Teğet koşulunu $t$ 'ye göre türevlemek gerekiyor.

Bu yıl ne gelebilir:

Tahmin: açı, kosinüs teoremi ya da yine ters soru. Beş sınav beş farklı sahne kullandı; tekrar eden tek şey tarif. Henüz gelmeyenler: (1) gözlem açısı ( $\tan\theta=h/x$ , türevde $\sec^2\theta$ ), (2) birbirine dik olmayan iki yol (kosinüs teoremi), (3) hareketli ışık kaynağıyla gölge, (4) koni ya da silindir tank. Son dört sınavın ikisi ters soruydu (hız verip boyut istemek); merdivenin 2. basamağı (d) ve merdivenin 3. basamağı (d) bunu çalıştırıyor. Hangi sahne gelirse gelsin Adım 1–5 değişmiyor; zor kısım her zaman Adım 2'deki bağıntıyı kurmak.

Puanı nerede kaybedersin

Alt şık yok: her yıl tek parça 25 puan (2021-22'de 20). Boş bırakmak, sınavın dörtte birini bırakmak demek. Değişken listesi + bağıntı + türev satırı tek başına puan topluyor.
Geometriyi koordinata çevirmeden çözmeye çalışmak (2025-26 fenerler): kıyıyı $x$ ekseni alan kişi iki Pisagor yazıp bitiriyor, açılarla uğraşan zaman kaybediyor.
Ters soruda (2024-25, 2022-23) "hız var, boyut yok" görüp donmak. Türevli denklemlerin bilinmeyen boyutlarda doğrusal olduğunu bilen, sistemi iki satırda çözer.
2022-23'te kurulum teğetin $x$ eksenini kestiği noktaya bağlıydı: teğet doğrusunu (K4) yanlış yazan bütün soruyu kaybetti. Related rates sorusu başka kalıpları da içinde taşıyor.
O anın sayılarını türevden önce koymak. O an $b=5$ diye bağıntıya 5 yazarsan $b'$ kaybolur ve cevap çöker. Sayılar Adım 4'te girer.
İşaret: "decreasing at 10 km/h" demek $b'=-10$ . Sonuç negatifse cevap cümlesinde "decreasing at …" yaz, eksiyi kutuda yalnız bırakma.
Not ihlali: soru zamana bağlılık hakkında varsayım yasaklıyorsa $a=3+20t$ gibi bir formül yazma. Elinde sadece o anın değerleri ve türevleri var.
Ters soruda kareden gelen sahte kök: sıfır ya da negatif kenar, negatif uzaklık. Neden attığını bir cümleyle yaz.
Açı varsa birim radyan: $\theta'$ rad/s çıkar. $\sec^2\theta$ 'yı açıyı bulmadan $1+\tan^2\theta$ 'dan hesapla.
Birimsiz cevap. km/h, cm²/s, rad/s yaz.

Sınav anı taktiği

Bu soru 25 puan ve tek parça: 22–25 dk ayır. İlk 5 dakikada şekil, değişken listesi ve verilen türevler kâğıtta olsun; cevaba ulaşmasan bile bu kısım puan.
Kâğıdı üç blok halinde yaz: bağıntı → türev → o anın sayıları. Okuyucu kısmi puanı bu üç bloğa göre veriyor.
Koordinat koy: kıyı, yol, zemin = $x$ ekseni. İki noktaya uzaklık iki Pisagor'a döner, geometri tartışması gerekmez.
Cevap $-\frac{25}{\sqrt{19}}$ gibi çirkin çıkarsa öyle bırak. Hesap makinesi yok, kesin değer isteniyor.
Takıldıysan son satıra hangi büyüklüğün türevini aradığını ve hangi denklemden çözeceğini yaz (" $D'$ 'yü (3)'ten çözeriz"). Kurulum puanını böyle kurtarırsın.

Bu kalıbın konusu, baştan anlatımıyla: Ünite 3 (ücretsiz)

Diğer 5 kalıp pakette.

Hepsi bu sırayla: video, tanı, reçete, merdiven, çıkmışlar, taktik. 999 TL, tek ödeme.

Tüm paketi gör