vizekit

Bu ünite ücretsiz, kayıt yok. Paketin tamamı: 5 ünite, prova, asistan. 999 TL, iade hakkıyla.

Ünite 3 · MATH 101 · ücretsiz

Kapalı türev, ilişkili hızlar, lineer yaklaşım ve yüksek mertebe türevler

Stewart Metric 9e §2.6–2.9 (+ higher derivatives, §2.2–2.3) · Implicit Differentiation, Related Rates, Linear Approximation & Higher Derivatives

Son 5 MT1'in 5'inde (2021-22 Güz MT'den 2025-26 Güz MT1'e) bu üniteden 1–2 soru geldi: 100 puanın 35–50'si. İlişkili hızlar (related rates) 5 sınavın 5'inde tam soruydu: teğet-kesişen noktalar, parabol-teğet üçgeni, makara-ip, dik üçgen, iki deniz feneri. Noktada $d^2y/dx^2$ (implicit) 5'in 3'ünde geldi (2021-22, 2023-24, 2024-25 Güz). Fonksiyonel denklemden $f(1), f'(1)$ + teğet + lineer yaklaşım 2025-26 Güz MT1 Q2'de, fonksiyonel denklemden $f''(1)$ 2022-23 Güz MT1 Q1b'de çıktı.

Bu ünite sınavda şu kalıp olarak gelir: İlişkili hızlar: önce bağıntı, sonra türev · 5/5 →

Tüm paketi gör Etkileşimli hali: işaretle, asistana sor MATH 101 ara sınav rehberi

Konu anlatımı videosu · 10:32

Videonun metni

MATH 101 MT1. Bu ünite son 5 sınavın 5'inde de var. İlişkili hızlar 5'in 5'inde tam soru. Noktada ikinci türev 5'in 3'ünde. Toplam 196 puan. 500 puanın yaklaşık beşte ikisi, dersin en ağır ünitesi. Derse girmedin mi? Sorun yok. Üniteyi sıfırdan kuruyoruz, sonra sınav tarzı bir soruyu tam puanla çözüyoruz. Önce fikir. x² + xy + y² = 7. Bu denklem y'yi x'e bağlıyor, ama y'yi yalnız bırakmak çirkin.

Kural tek. İki tarafı x'e göre türevle, y'yi x'in fonksiyonu say. Her y teriminden zincir kuralıyla bir y' çıkar. Örneğe uygulayalım. 2x + (y + xy') + 2yy' = 0. Taktik: sayıları hemen koy. (1, 2)'de 2 + 2 + 5y' = 0. Yani y' = −4/5. Bu eğimle teğeti çiz. Eğri bir fonksiyon değil, ama noktanın civarında y, x'in fonksiyonu gibi davranıyor.

Yatay teğet: y'nin payı N = 0. Dikey teğet: paydası D = 0. Bu koşulu eğri denklemiyle birlikte çöz, nokta eğrinin üstünde olmalı. En çok unutulan adım bu. İki eğri dik kesişiyor mu? Eğimlerin çarpımı −1 olmalı. Bilkent'in favorisi: noktada d²y/dx². Formül değil, bir sayı istenir. Yavaş yol, y üssünü yalnız bırakıp bölüm kuralıyla bir daha türevlemek. Kesir kesir içinde,

dakikalar gider. Hızlı yol, bir kez türevlenmiş denklemi olduğu gibi bir kez daha türevle. Örnek. y³ + xy = x³ + 1. Nokta (1, 1). Önce kontrol: 2 = 2. Birinci türev: 3y²y' + y + xy' = 3x². Noktada y' = 1/2. Şimdi bir daha türevle. Çarpım kuralı, her çarpımdan iki terim çıkar. (1, 1, 1/2) koy: 6·¼ + 4y'' + 1 = 6.

4y'' = 7/2, yani y'' = 7/8. Pozitif, grafikte eğri teğetin üstünde. Bu denklem y iki üssüne göre hep birinci dereceden. Tek bilinmeyen, tek adım. Yüksek mertebe türev, türevin türevi. Konum s ise hız s', ivme s''. Hız ve ivme aynı işaretliyse parçacık hızlanıyor, zıt işaretliyse yavaşlıyor. Mesela s = t² − 4t. t < 2 iken v = 2t − 4 negatif, a = 2 pozitif, yani parçacık yavaşlıyor. n'inci türev sorusunda birkaç türev al, örüntüyü yaz. Mesela 1/x.

Şimdi fonksiyonel denklem. f türevlenebilir, f(x) + f(x²) = 2x³, her x için. Sihirli nokta x = 1, çünkü 1² = 1. 2f(1) = 2, f(1) = 1. Denklem her x için doğru, o yüzden türevi de doğru. f(x²)'nin türevinde zincir kuralı var: 2x·f'(x²). x = 1 koy. 3f'(1) = 6, f'(1) = 2. Kapalı türevin aynısı. Bilinmeyen fonksiyon f, bildiğin bağıntıyı türevliyorsun.

Şimdi en çok puan getiren parça, ilişkili hızlar. Büyüklükler zamanla değişiyor, aralarında her an geçerli bir bağıntı var. Algoritma beş adım. Bir, şekil çiz, değişen her şeye harf ver. İki, her an geçerli bağıntıyı yaz. Dik üçgende Pisagor. Üç, te'ye göre türevle. Her değişkenden zincir kuralıyla bir hız çıkar. Dört, ancak şimdi o anki sayıları koy. Önce koyarsan sabiti türevlersin, hız sıfır olur.

Beş, bilinmeyen hızı çöz ve cümle kur. Artıyor mu, azalıyor mu, birimiyle. Sorunun altında hep o not var. Do not assume anything. Hiçbir hızı sabit sayamazsın, sadece verilenleri kullanırsın. Bilinmeyen bir ara hız varsa iki bağıntı yaz, ikisini de türevle, o hızı yok et. Bilkent'in imzası: eğri üzerinde hareket eden nokta. P, y = 1/x² üzerinde, x koordinatı p. Eğim −2/p³. Teğet doğrusu: y = 3/p² − 2x/p³. Grafik p = 1 için.

Eksenleri kestiği yerler: y ekseninde 3/p², x ekseninde 3p/2. Üçgenin alanı ½ · taban · yükseklik = 9/(4p). Hız için zincir kuralı. Alanın hızı, A'nın p'ye göre türevi çarpı p'nin hızı. p = 3 ve saniyede 2 cm artıyorsa: −9/36 · 2 = −1/2. Cümleyle yaz. Alan saniyede yarım santimetrekare azalıyor. Eğimin değişim hızı da aynı mantık. Eğim f'(x), hızı f''(x) · dx/dt.

Son parça, lineer yaklaşım. Türevlenebilir bir fonksiyon, a noktası civarında teğet doğrusuna çok yakın. Hesap makinesi yok, o yüzden a'yı kolay seç. √99,8 için a = 100. 10 + (1/20)(−0,2). Sonuç 9,99. Fazla mı eksik mi? Kök x aşağı bükük, teğet grafiğin üstünde kalır. Yani overestimate. Diferansiyel: dy = f'(x) dx. Ölçüm hatası dx ise, çıktıdaki hata dy.

Kısayol: y = Cxᵏ ise dy/y = k · dx/x. Kürenin yarıçapında %1 hata, hacimde ≈ %3. Açı varsa dikkat. Türev formülleri sadece radyanda doğru. 1° = π/180 radyan. Şimdi sınav tarzı, özgün bir soru. Yirmi beş puan, dört şık, ünitenin üç parçası tek soruda. y, x'in türevlenebilir bir fonksiyonu. x²y + cos(πxy) = 0. Nokta (1, 1). İstenenler sırayla: noktada eğim, teğet doğrusu, ikinci türev ve x = 1,01'de tahmin. (a) şıkkı, 8 puan. Önce noktayı kontrol et. 1 + cos π = 1 − 1 = 0.

Türevle. x²y bir çarpım: 2xy + x²y'. cos'un türevi −sin, çarpı içinin türevi π(y + xy'). Noktada sin π = 0, sinüslü terim tamamen ölüyor. 2 + y' = 0, y' = −2. (b) şıkkı, 4 puan. Nokta-eğim formu: y − 1 = −2(x − 1), yani y = −2x + 3. (c) şıkkı, 10 puan, asıl puan burada. (∗) denklemini, sayı koymadan, terim terim bir daha türevle. İlk iki terim çarpım kuralı: 2y + 2xy', sonra 2xy' + x²y''.

Sinüslü terimden iki parça. Sinüsün türevi kosinüs çarpı parantez kare, sonra parantezin türevi. Şimdi koy: cos π = −1, sin π = 0, y + xy' = −1. −6 + y'' + π² = 0. y'' = 6 − π². Kesin değer, öyle bırak. Parantez kareli terimi kaybetme. Bu sorunun puanının yarısı orada. (d) şıkkı, 3 puan. Teğetle tahmin: −2 · 1,01 + 3 = 0,98.

Fazla mı eksik mi? π² > 9 > 6, y'' negatif. Eğri aşağı bükük, teğet üstte. Overestimate. Gerçek değer ≈ 0,9798, gerçekten biraz altında. 25'te 25. Şimdi puan kaybettiren üç tuzak. Bir: ilişkili hızlarda sayıyı türevden önce koymak. x = 3 yazıp türevlersen hız sıfır çıkar. İki: ikinci türevde çarpım kuralını yarım bırakmak. (xy')'nün türevinde y' de var. Üç: açıyı derece ile türevlemek. dθ = 1° ise π/180 yaz.

30 saniyede özet. Kapalı türevde y, x'in fonksiyonu. Her y teriminden bir y' çıkar, sayıyı hemen koy. Noktada ikinci türev için türevli denklemi bir daha türevle. Fonksiyonel denklemde sihirli noktayı bul. İlişkili hızlarda önce bağıntı, sonra türev, en son sayı. Lineer yaklaşımda teğet, bükeylik ve radyan.

Bu ünitenin tamamı, 6 çözümlü örnek ve 24 soruyla, vize.ozai.info'da ücretsiz. Bilkent ile resmî bağlantımız yoktur. Sınavda görüşürüz.

0. Bu ünite sınavda nasıl gelir: üç kalıp

Bilkent MATH 101 MT1'de bu ünite neredeyse hep üç kalıptan biriyle gelir, her biri tek başına 25 puanlık bir soru:

"Find $\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(x,y)=(a,b)}$ if $y$ is a differentiable function of $x$ satisfying ...": kapalı (implicit) bir denklem, içinde genelde bir $\sin$ / $\cos$ ve $\pi$ var. Formül değil, sayı istenir. Hız + temiz cebir oyunu.
İlişkili hızlar (related rates): geometrik bir durum (üçgen, makara, iki gözlemci, bir eğriye teğet). Sonunda hep şu not: "Do not assume anything about how the quantities depend on time beyond what is given." Yani "hız sabit", "açı sabit" gibi şeyleri kafandan uyduramazsın; sadece verilen hızları kullanırsın.
Fonksiyonel denklem / teğet doğru / lineer yaklaşım: $f(x)+f(x^2)=\dots$ gibi bir denklemden $f(1)$ , $f'(1)$ , teğet doğrusu ve yakın bir noktada tahmin. Ya da bir parametreli soru: "find $a, b$ so that ...".

Şunu kafana kazı: bunlar kısmi puanlı yazılı sorular. Okuyan kişi kurulumu görmek ister: doğru ilişkiyi yazmak, doğru noktada türev almak. Sonuç sayısı yanlış çıksa bile düzgün kurulmuş çözüm puan toplar; kurulumsuz tek bir sayı neredeyse hiçbir şey göstermez.

1. Kapalı türev (§2.6): $y$ bir fonksiyon, unutma

$x^2+xy+y^2=7$ gibi bir denklem $y$ 'yi $x$ cinsinden tanımlar ama çözmek ya imkânsız ya çirkin. Çözmeden türev almak için: her iki tarafı $x$ 'e göre türevle, $y$ 'yi $y(x)$ gibi düşün.

Altın kural: $y$ içeren her terimde zincir kuralı (chain rule) ile bir $y'$ çıkar.
$\begin{aligned}\frac{d}{dx}\big(y^3\big)&=3y^2\,y'\\ \frac{d}{dx}\big(xy\big)&=y+x\,y'\\ \frac{d}{dx}\sin(\pi xy)&=\pi\cos(\pi xy)\\&\quad\cdot(y+xy')\end{aligned}$

Örnek. $x^2+xy+y^2=7$ , nokta $(1,2)$ :
$2x+(y+xy')+2y\,y'=0.$
Sınav taktiği: sayıları hemen yerine koy, sonra $y'$ 'yi çöz. $(1,2)$ : $2+2+y'+4y'=0\Rightarrow y'=-4/5$ . Genel formül ( $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$ ) sadece soru isterse.

Teğet ve normal doğru. Eğim $m=y'(a)$ ise teğet: $y-b=m(x-a)$ ; normal: $y-b=-\frac1m(x-a)$ .

Yatay / dikey teğet. $y'=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}$ şeklinde yazınca: yatay teğet $\Leftrightarrow N=0$ (ve $D\neq0$ ), dikey teğet $\Leftrightarrow D=0$ (ve $N\ne0$ ). Bulduğun koşulu orijinal denklemle birlikte çöz: nokta eğrinin üstünde olmalı. En sık unutulan adım bu.

Ortogonal eğriler. İki eğri bir noktada kesişiyor ve teğetlerinin eğimleri çarpımı $-1$ ise o noktada dik kesişirler (orthogonal). İki eğri ailesi için: her ailenin $y'$ 'sini parametreyi yok ederek ( $c$ , $k$ gibi sabitleri denklemden çekip yerine koyarak) $x,y$ cinsinden yaz; çarpımın $-1$ olduğunu göster.

2. Noktada $d^2y/dx^2$: Bilkent'in favori sorusu

İki yol var; sınavda ikincisini kullan.

Yol 1 (yavaş, hata dolu): $y'=\frac{N}{D}$ formülünü bul, bölüm kuralı (quotient rule) ile tekrar türevle, içine $y'$ 'yi koy, sadeleştir. Kesir kesir içinde; dakikalar gider.

Yol 2 (hızlı): Bir kez türevlenmiş denklemi (henüz $y'$ 'yi yalnız bırakmadan) bir kez daha türevle. Sonra sırayla yerine koy: önce $(x,y)$ 'yi koyup $y'$ 'yi bul, sonra ikinci denklemde $(x,y,y')$ 'yi koyup $y''$ 'yi bul. İkinci türevli denklem $y''$ 'ye göre hep lineerdir: tek bilinmeyenli birinci derece denklem.

Örnek. $y^3+xy=x^3+1$ , nokta $(1,1)$ (önce kontrol: $1+1=1+1$ ✓).

Birinci türev: $3y^2y'+y+xy'=3x^2$ . $(1,1)$ 'de: $3y'+1+y'=3\Rightarrow y'=\tfrac12$ .

İkinci türev (her terimi tekrar türevle, çarpımlara dikkat):
$\begin{aligned}&6y\,(y')^2+3y^2y''\\&+y'+y'+xy''=6x.\end{aligned}$
$(1,1,\tfrac12)$ : $6\cdot\tfrac14+3y''+1+y''=6\Rightarrow 4y''=\tfrac72\Rightarrow y''=\tfrac78.$

Dikkat noktaları:

$\frac{d}{dx}(3y^2y')=6y\,y'\cdot y'+3y^2y''$ : çarpım kuralı, iki terim.
$\frac{d}{dx}(xy')=y'+xy''$ : buradaki $y'$ 'yi atlayan çok.
$\frac{d}{dx}\cos(\pi xy)=-\sin(\pi xy)\,\pi(y+xy')$ ; bunu bir kez daha türevlerken üç parça çıkar: $-\cos(\cdot)\,\pi^2(y+xy')^2-\sin(\cdot)\,\pi(2y'+xy'')$ . Noktada $\sin$ veya $\cos$ genelde $0$ ya da $\pm1$ olur: terimlerin yarısı ölür, sınav tasarımı bu.
Önce noktanın eğri üstünde olduğunu kontrol et: bir satır, hata yakalar, okuyucuya özen gösterdiğini gösterir.

3. Yüksek mertebe türevler ve fonksiyonel denklemler

$f''=(f')'$ , $f'''=(f'')'$ , $f^{(n)}$ . Fizikte $s(t)$ konum ise $v=s'$ , $a=v'=s''$ (§2.7: "rates of change in the sciences"; hız, ivme, marjinal maliyet hep türev). Parçacık hızlanıyor (speeding up) $\Leftrightarrow$ $v$ ve $a$ aynı işaretli; zıt işaretliyse yavaşlıyor. Örnek: $s=t^2-4t$ için $v=2t-4$ , $a=2$ ; $t\lt 2$ 'de $v\lt 0$ , $a\gt 0$ , yani $a$ pozitif olduğu halde parçacık yavaşlıyor. Toplam yol için $v=0$ anlarında aralığı parçala: yol ile yer değiştirme (displacement) aynı şey değil.

$n$ . türev kalıpları. Birkaç türev al, örüntüyü yaz, gerekirse tümevarımla kanıtla:
$\begin{aligned}\Big(\frac{1}{x}\Big)^{(n)}&=\frac{(-1)^n\,n!}{x^{n+1}}\\ \Big(\frac{1}{a-x}\Big)^{(n)}&=\frac{n!}{(a-x)^{n+1}}\\ (\sin kx)^{(n)}&=k^n\sin\!\Big(kx+\frac{n\pi}{2}\Big)\end{aligned}$
Rasyonel fonksiyonda önce kısmi kesirlere ayır: $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac{1}{1-x}$ .

Diferansiyel denklemi sağlatma. "Find $a,b$ such that $y=a\sin2x+b\cos2x$ satisfies $y''+y'-2y=\sin2x$ ": $y',y''$ 'yi hesapla, yerine koy, $\sin2x$ ve $\cos2x$ katsayılarını iki tarafta eşitle → iki bilinmeyenli lineer sistem. (2025-26 Güz MT1 Q1c bu tipteydi.)

Fonksiyonel denklemler. " $f$ differentiable, $f(x)+f(x^2)=2x^3$ for all $x$ ." Hile yok:

Kolay noktayı koy: $x=1$ → $2f(1)=2$ , $f(1)=1$ .
Denklem her $x$ için doğru olduğu için iki tarafı türevle (chain rule!): $f'(x)+2x\,f'(x^2)=6x^2$ . $x=1$ → $3f'(1)=6$ , $f'(1)=2$ .
İkinci türev istenirse ( $f$ iki kez türevlenebilir verilmişse) bir kez daha türevle.

Bu, kapalı türevin (implicit differentiation) aynısı: bilinmeyen fonksiyon $f$ , bilinen ilişkiyi türevliyorsun. $x=1$ gibi "sabit nokta" ( $1^2=1$ , $\sqrt1=1$ ) aranır: denklemde $f(\text{bir şey})$ 'lerin hepsini aynı noktaya çeken $x$ 'i bul.

4. İlişkili hızlar (§2.8): algoritma

Zamanla değişen büyüklükler arasında her an geçerli bir ilişki varsa, onu $t$ 'ye göre türevleyince hızlar arasında ilişki çıkar.

Algoritma (puan buradan gelir):

Şekil çiz, değişen her büyüklüğe harf ver ( $x(t)$ , $h(t)$ , $\theta(t)$ ). Sabit olanlara (ipin boyu, iki fener arası mesafe) sayı yaz.
Her an geçerli ilişkiyi yaz: Pisagor, benzer üçgenler, kosinüs teoremi (law of cosines), alan/hacim formülü, eğri denklemi.
$t$ 'ye göre türevle (her değişken için zincir kuralı (chain rule): $\frac{d}{dt}x^2=2x\,\dot x$ ).
Ancak şimdi "o anki" sayıları koy. Önce koyarsan sabit gibi türevlersin → sıfır → yanlış.
Bilinmeyen hızı çöz; işaret ve birim ile cümle kur: "decreasing at a rate of $10/\sqrt3$ km/h".

"Do not assume anything ..." notu ne demek? Gemi "hızı ve yönü sürekli değişen" denir; yani $x$ sabit hızla değişiyor, açı sabit, gemi düz gidiyor gibi bir şey varsayamazsın. Sadece verilen anlık değerler ve anlık hızlar. Bazen bilinmeyen bir ara büyüklük (gemi–kıyı ayağının yeri $x$ ) de değişir; onun hızını bilmiyorsun → iki denklem yaz, türevle, o bilinmeyen hızı yok et. 2025-26 Güz MT1 Q4 tam olarak buydu.

Ters yön soruları. Bazen hızlar verilir, bir uzunluk sorulur (2020-21 Güz vizesinde ördeğin yuvasına uzaklık, 2024-25 Güz MT1 Q3'te üçgenin en kısa kenarı soruldu). Aynı algoritma: türevlenmiş denklemde bilinmeyen artık bir uzunluk; o anki geometrik ilişkiyle birlikte çöz. "Find all possible values" diyorsa ikinci dereceden denklemin iki kökünü de kontrol et (pozitif uzunluk, ilk bölge vb.).

Sık kullanılan ilişkiler:

Pisagor $x^2+y^2=z^2\Rightarrow x\dot x+y\dot y=z\dot z$ .
Kosinüs teoremi $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ .
Üçgen alanı $A=\tfrac12ab\sin\theta$ ; koni $V=\tfrac13\pi r^2h$ (benzer üçgenle $r$ 'yi $h$ 'ye bağla, sonra türevle); küre $V=\tfrac43\pi r^3$ , $S=4\pi r^2$ ; silindir $V=\pi r^2h$ .
Açı: $\tan\theta=\frac{\text{karşı}}{\text{komşu}}\Rightarrow \sec^2\theta\,\dot\theta=\dots$ : açı hızı radyan/zaman. Derece verilirse $\pi/180$ ile çevir.

5. Eğri üzerinde hareket eden noktalar ve teğet doğruları

Bilkent'in imzası: nokta $P=(x,f(x))$ bir eğri üzerinde hareket ediyor, $P$ 'deki teğet eksenleri / eğriyi $T$ , $Q$ 'da kesiyor; bir alan ya da koordinatın hızı soruluyor (2021-22 Güz MT Q3, 2022-23 Güz MT1 Q3).

Yöntem: Her şeyi $P$ 'nin $x$ -koordinatı $p$ cinsinden yaz, sonra $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dp}\cdot\frac{dp}{dt}$ .

Örnek. $P=(p,1/p^2)$ , $p\gt 0$ , eğri $y=1/x^2$ . Eğim $y'=-2/p^3$ , teğet: $y=\frac1{p^2}-\frac{2}{p^3}(x-p)=\frac{3}{p^2}-\frac{2x}{p^3}$ . $y$ -ekseni kesişimi $3/p^2$ , $x$ -ekseni kesişimi $3p/2$ . Eksenlerle oluşan üçgenin alanı
$\begin{aligned}A(p)&=\frac12\cdot\frac{3p}{2}\cdot\frac{3}{p^2}=\frac{9}{4p}\\ \dot A&=-\frac{9}{4p^2}\,\dot p\end{aligned}$
$p=3$ ve $\dot p=2$ cm/s ise $\dot A=-\tfrac{9}{36}\cdot2=-\tfrac12$ cm²/s: alan azalıyor. (İlginç not: $y=1/x$ için bu alan sabit $2$ 'dir, hızı $0$ : sınavda bir "show that" kalıbı olabilir.)

Ters soru tipi: "Find all $p$ at the moment when $A$ is decreasing at rate $r$ and $\dot p=s$ " → $A'(p)\cdot s=-r$ denklemini çöz, kısıtlara (birinci bölge, $p\ne0$ ) göre kökleri ele.

Eğer eğri implicit verilirse ( $x^2+y^2=25$ gibi): $\dot y$ 'yi $\dot x$ 'ten implicit türevle bul: $x\dot x+y\dot y=0$ . Bilinmeyen $f$ verilirse (2021-22 Güz MT Q3 tipi): "teğet doğrusu $y=3x-1$ " demek $f(1)=2$ , $f'(1)=3$ demek; $Q$ 'nun $P$ 'deki teğet üzerinde olma koşulunu her an geçerli bir denklem olarak yaz, $f(q)=f(p)+f'(p)(q-p)$ , ve $t$ 'ye göre türevle.

Eğimin değişim hızı. Teğetin eğimi $m=f'(x)$ ; $x$ zamanla değişiyorsa zincir kuralı: $\frac{dm}{dt}=f''(x)\,\frac{dx}{dt}$ . "Eğim saniyede 6 artıyor" cümlesi aslında sana $f''$ 'yü veriyor (W6).

6. Lineer yaklaşım ve diferansiyeller (§2.9)

Türevlenebilir $f$ , $a$ civarında teğet doğrusuna çok yakındır:
$\begin{aligned}L(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)\\ f(x)&\approx L(x)\quad (x\approx a)\end{aligned}$
$L$ 'ye $f$ 'nin $a$ 'daki doğrusallaştırması (linearization of $f$ at $a$ ) denir. MT1 soruları hesap makinesiz çözülecek şekilde tasarlanıyor (resmî sınav kuralları Moodle'da) → $a$ 'yı "kolay" seç: $\sqrt{99.8}$ için $a=100$ , $\sqrt[3]{26.9}$ için $a=27$ , $\tan46^\circ$ için $a=45^\circ$ (ama $x-a$ 'yı radyan yaz: $1^\circ=\pi/180$ ).

Fazla mı eksik mi tahmin? $f''\gt 0$ (yukarı bükük, concave up) ise grafik teğetin üstünde → $L$ underestimate. $f''\lt 0$ ise overestimate. Gerekçe olarak "concave up near $a$ , so the tangent line lies below the graph" yaz.

Diferansiyeller (differentials). $dy=f'(x)\,dx$ . $dx=\Delta x$ (girdideki küçük değişim/ölçüm hatası), $dy\approx\Delta y$ (çıktıdaki değişim).

Mutlak hata $|dy|$ , göreli hata $\frac{|dy|}{|y|}$ , yüzde hata $100\cdot\frac{|dy|}{|y|}$ .
Kuvvet kuralı kısayolu: $y=Cx^k\Rightarrow \frac{dy}{y}=k\frac{dx}{x}$ . Küre hacminde yarıçaptaki %1 hata hacimde ≈ %3 hata.

Fonksiyonel denklemle birleşimi (2025-26 Güz MT1 Q2 tipi): önce $f(a), f'(a)$ 'yı bölüm 3'teki gibi bul, sonra $L(x)$ yaz, $f(\text{yakın nokta})\approx L(\cdot)$ . Teğet doğrusunu sorarken "only the equation in the box" diyorlar: $y=2x-1$ gibi temiz yaz.

Teğet doğrusu = linearization. Aynı doğru, iki isim. $y=L(x)$ .

Formül kartı

Implicit: chain rule on y: $\frac{d}{dx}\,g(y)=g'(y)\,y'$
Product with y: $\begin{aligned}\tfrac{d}{dx}(xy)&=y+xy'\\ \tfrac{d}{dx}(xy')&=y'+xy''\end{aligned}$
Second derivative of y^n: $\begin{aligned}\tfrac{d^2}{dx^2}\,y^n&=n(n-1)y^{n-2}(y')^2\\&\quad+n y^{n-1}y''\end{aligned}$
Trig of a product, twice: $\begin{aligned}\tfrac{d^2}{dx^2}\cos u&=-\cos u\,(u')^2\\&\quad-\sin u\,u''\end{aligned}$
Horizontal / vertical tangent (y' = N/D): $\begin{aligned}&N=0,\ D\neq0\ \text{(horizontal)}\\&D=0,\ N\neq0\ \text{(vertical)}\end{aligned}$
Orthogonal curves: $m_1m_2=-1$
n-th derivative patterns: $\begin{aligned}\Big(\tfrac{1}{x}\Big)^{(n)}&=\tfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\\ \Big(\tfrac{1}{a-x}\Big)^{(n)}&=\tfrac{n!}{(a-x)^{n+1}}\\ (\sin kx)^{(n)}&=k^n\sin\!\big(kx+\tfrac{n\pi}{2}\big)\end{aligned}$
Related rates: Pythagoras: $x^2+y^2=z^2\ \Rightarrow\ x\dot x+y\dot y=z\dot z$
Law of cosines / triangle area: $\begin{gathered}c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\\ A=\tfrac12ab\sin\theta\end{gathered}$
Slope rate; tangent at P through Q: $\begin{gathered}\frac{dm}{dt}=f''(x)\,\frac{dx}{dt}\\ f(q)=f(p)+f'(p)(q-p)\end{gathered}$
Cone, sphere, cylinder: $\begin{aligned}V_{\text{cone}}&=\tfrac13\pi r^2h\\ V_{\text{sph}}&=\tfrac43\pi r^3,\quad S_{\text{sph}}=4\pi r^2\\ V_{\text{cyl}}&=\pi r^2h,\quad S_{\text{cyl}}=2\pi r^2+2\pi rh\end{aligned}$
Linearization: $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
Differential, relative error: $\begin{gathered}dy=f'(x)\,dx\\ \frac{dy}{y}=k\,\frac{dx}{x}\ \ \text{for } y=Cx^k\end{gathered}$
Degrees to radians: $1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}$

Puan kaybettiren tuzaklar

Sayıyı türevden önce koymak. Related rates'te o anki değerleri ( $x=3$ ) türevlemeden önce koyarsan sabitin türevi $0$ olur, hız kaybolur. Önce genel ilişki → türev → sonra sayı. Implicit'te tersine: türevledikten hemen sonra sayı koymak serbest ve hızlı.
İkinci türevde çarpım kuralını yarım uygulamak. $\frac{d}{dx}(xy')=y'+xy''$ ve $\frac{d}{dx}(y^2y')=2y(y')^2+y^2y''$ : ilk terimi yazmayan $y''$ 'yi yanlış bulur. $\cos(\pi xy)$ 'nin ikinci türevi 3 parça içerir.
Noktayı kontrol etmemek. Soru $(x,y)=(1,1)$ veriyorsa önce orijinal denklemde sağlat. Yatay/dikey teğet bulurken $N=0$ koşulunu eğri denklemiyle birlikte çöz; $N=0$ doğrusunun tamamı cevap değil.
"Do not assume" uyarısını çiğnemek. Gemi/nokta için "sabit hızla düz gidiyor" deyip bir hızı uydurmak = bütün kurulum çöker. Bilinmeyen bir ara hız varsa iki denklem yaz ve onu eleme ile yok et.
Açıyı derece ile türevlemek. $\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$ sadece radyan için doğru. $1^\circ/\text{min}$ verildiyse $\pi/180$ rad/min yaz; lineer yaklaşımda $\Delta x=1^\circ=\pi/180$ .
İşaret ve cümle. "decreasing at a rate of $5$ " demek $\dot x=-5$ . Cevabı sadece " $-5$ " bırakma: hangi büyüklüğün, artıyor mu azalıyor mu, birimiyle yaz. Bizim rubriklerde bu ayrı bir kalem.
Over/underestimate gerekçesiz. "Underestimate" demek yetmez: $f''(a)\gt 0$ (concave up) → teğet grafiğin altında → $L$ küçük kalır. Fonksiyonel denklemde $f''$ 'yi hesaplamadan konkavlık hakkında konuşamazsın.
"Find all possible values"da tek kök vermek. İkinci dereceden denklem iki kök verirse ikisini de geometrik kısıtla (pozitif uzunluk, birinci bölge, $p\gt 0$ ) tek tek test et ve gerekçesini yaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1Implicit curve: slope, tangent line, second derivative at a point

Let $y$ be a differentiable function of $x$ satisfying
$x^2y+\cos(\pi xy)=0$
near the point $(x,y)=(1,1)$ .

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ at $(1,1)$ .
(b) [4 pts] Write an equation for the tangent line to the curve at $(1,1)$ .
(c) [10 pts] Find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(1,1)$ .
(d) [3 pts] Use the tangent line to estimate $y$ when $x=1.01$ , and decide whether this is an overestimate or an underestimate.

Adım adım çözüm

Kontrol: $1\cdot1+\cos\pi=1-1=0$ ✓: nokta eğri üstünde.

(a) Her iki tarafı $x$ 'e göre türevle; $y=y(x)$ :
$\begin{aligned}&2xy+x^2y'\\&-\pi\sin(\pi xy)\,(y+xy')=0\quad(\ast)\end{aligned}$
$(1,1)$ 'de $\sin\pi=0$ , sinüslü terim tamamen ölüyor: $2+y'=0\Rightarrow y'=-2$ .

(b) $y-1=-2(x-1)$ , yani $y=-2x+3$ .

(c) $(\ast)$ 'ı bir daha türevle. Terim terim:

$\frac{d}{dx}(2xy)=2y+2xy'$
$\frac{d}{dx}(x^2y')=2xy'+x^2y''$
$\frac{d}{dx}\big[-\pi\sin(\pi xy)(y+xy')\big]=-\pi^2\cos(\pi xy)(y+xy')^2-\pi\sin(\pi xy)(2y'+xy'')$

Toplam $=0$ . Şimdi $(x,y,y')=(1,1,-2)$ koy: $\cos\pi=-1$ , $\sin\pi=0$ , $y+xy'=1-2=-1$ :
$\begin{aligned}&2+2(-2)+2(-2)+y''\\&\quad-\pi^2(-1)(-1)^2-0=0\\&\Rightarrow\ -6+y''+\pi^2=0.\end{aligned}$
$\boxed{y''(1)=6-\pi^2}$

(d) $y(1.01)\approx-2(1.01)+3=0.98$ . $\pi^2\gt 9\gt 6$ olduğundan $y''(1)=6-\pi^2\lt 0$ : eğri $x=1$ civarında aşağı bükey (concave down), teğet grafiğin üstünde → $0.98$ bir overestimate. (Gerçek değer $\approx0.9798$ . Uzak bir nokta seçme: bu eğrinin $y(1)=1$ dalı $x\approx1.06$ civarında bükülüp bitiyor: lineer yaklaşım sadece yakın noktalar için anlamlı.)

Şunu gör: $\sin$ ve $\cos$ 'un argümanı noktada $\pi$ oluyor: tasarım gereği terimlerin yarısı sıfırlanıyor. İkinci türevde $(y+xy')^2$ terimini kaybetme; puanın yarısı orada.

(a) $y'=-2$ (b) $y=-2x+3$ (c) $y''=6-\pi^2$ (d) $y(1.01)\approx0.98$ , overestimate (since $y''(1)\lt 0$ ).

Örnek 2Related rates with the law of cosines (no assumptions about time dependence)

The three side lengths of a triangle change with time as differentiable functions. Let $a$ and $b$ be the lengths of two sides, $\theta$ the angle between them, and $c$ the length of the third side. At a certain moment:

$a=5$ cm and $a$ is increasing at a rate of $2$ cm/s,
$b=8$ cm and $b$ is decreasing at a rate of $1$ cm/s,
$c=7$ cm and $c$ is increasing at a rate of $3$ cm/s.

(a) [5 pts] Find $\theta$ at this moment.
(b) [10 pts] Determine how fast $\theta$ is changing at this moment.
(c) [10 pts] Determine how fast the area of the triangle is changing at this moment.

[Make no assumption about how these quantities depend on time beyond what is stated.]

Adım adım çözüm

Her an geçerli ilişkiler (önce bunlar, sayı yok):
$\begin{gathered}c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\\ A=\tfrac12ab\sin\theta\end{gathered}$

(a) $49=25+64-80\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=\tfrac12\Rightarrow\theta=\pi/3$ . ( $\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ .)

(b) Kosinüs teoremini (law of cosines) $t$ 'ye göre türevle: $a$ , $b$ , $\theta$ üçü de değişiyor, $ab\cos\theta$ üç çarpanlı:
$\begin{aligned}2c\dot c&=2a\dot a+2b\dot b\\&\quad-2(\dot ab+a\dot b)\cos\theta\\&\quad+2ab\sin\theta\,\dot\theta\end{aligned}$
Şimdi sayılar: $\dot a=2$ , $\dot b=-1$ , $\dot c=3$ ("decreasing" → eksi!).
$\begin{aligned}42&=20-16-2(16-5)\cdot\tfrac12\\&\quad+80\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\,\dot\theta\\&=-7+40\sqrt3\,\dot\theta\end{aligned}$
$\dot\theta=\frac{49}{40\sqrt3}=\frac{49\sqrt3}{120}\ \text{rad/s}\gt 0.$
Açı artıyor: mantıklı, karşı kenar $c$ uzarken $b$ kısalıyor.

(c) $\dot A=\tfrac12(\dot ab+a\dot b)\sin\theta+\tfrac12ab\cos\theta\,\dot\theta$
$\begin{aligned}&=\tfrac12(11)\tfrac{\sqrt3}{2}+20\cdot\tfrac12\cdot\frac{49}{40\sqrt3}\\&=\frac{11\sqrt3}{4}+\frac{49}{4\sqrt3}=\frac{33+49}{4\sqrt3}\\&=\frac{41\sqrt3}{6}\ \text{cm}^2/\text{s}.\end{aligned}$

Dikkat: "θ sabit" deyip $\dot\theta=0$ alırsan (c)'de sadece $11\sqrt3/4$ bulursun: tam olarak "do not assume" uyarısının cezalandırdığı hata. Alternatif yol: Heron formülü $16A^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$ 'i türevlemek; açıya hiç girmeden aynı sonucu verir (kendin dene, iyi kontrol).

(a) $\theta=\pi/3$ (b) $\theta$ is increasing at $\frac{49\sqrt3}{120}$ rad/s (c) the area is increasing at $\frac{41\sqrt3}{6}$ cm²/s.

Örnek 3Functional equation → value, slope, tangent line, linear approximation

A twice-differentiable function $f$ satisfies
$f(x^3)+x\,f(x)=3x^2-1$
for all $x\gt 0$ .

(a) [4 pts] Find $f(1)$ .
(b) [6 pts] Find $f'(1)$ .
(c) [4 pts] Write an equation for the tangent line to $y=f(x)$ at the point with $x=1$ .
(d) [4 pts] Estimate $f(0.96)$ using the linear approximation of $f$ at $x=1$ .
(e) [7 pts] Find $f''(1)$ . Assuming $f''$ is continuous, decide whether your estimate in (d) is an overestimate or an underestimate, and justify.

Adım adım çözüm

Fikir: denklem her $x\gt 0$ için doğru → türevi de her $x$ için doğru. $x=1$ sihirli nokta: $1^3=1$ , böylece bütün $f(\cdot)$ 'ler aynı noktaya düşer.

(a) $x=1$ : $f(1)+f(1)=2\Rightarrow f(1)=1$ .

(b) Türevle (chain rule $f(x^3)$ 'te, product rule $xf(x)$ 'te):
$3x^2f'(x^3)+f(x)+xf'(x)=6x\quad(\ast)$
$x=1$ : $3f'(1)+1+f'(1)=6\Rightarrow f'(1)=\tfrac54$ .

(c) $y=1+\tfrac54(x-1)$ , yani $y=\tfrac54x-\tfrac14$ .

(d) $f(0.96)\approx1+\tfrac54(-0.04)=1-0.05=0.95$ .

(e) $(\ast)$ 'ı bir kez daha türevle:
$\begin{aligned}&6xf'(x^3)+9x^4f''(x^3)\\&+f'(x)+f'(x)+xf''(x)=6.\end{aligned}$
$x=1$ : $6\cdot\tfrac54+9f''(1)+2\cdot\tfrac54+f''(1)=6\Rightarrow10f''(1)=6-10\Rightarrow f''(1)=-\tfrac25.$

$f''$ sürekli ve $f''(1)\lt 0$ → $1$ 'in bir komşuluğunda $f''\lt 0$ , $f$ orada concave down; grafik teğetin altında kalır. Dolayısıyla ( $0.96$ yeterince yakın kabul edilerek) $0.95$ bir overestimate.

Bu, 2025-26 Güz MT1 Q2'nin ruhu: $f$ 'yi asla bilmiyorsun, sadece ilişkiyi türevliyorsun. $3x^2f'(x^3)$ 'teki $3x^2$ 'yi unutan (b)'yi $f'(1)=5/2$ bulur ve bütün zincir çöker.

(a) $f(1)=1$ (b) $f'(1)=5/4$ (c) $y=\tfrac54x-\tfrac14$ (d) $f(0.96)\approx0.95$ (e) $f''(1)=-2/5$ ; concave down near 1 ⇒ overestimate.

Örnek 4Moving point on a parabola, tangent-line triangle

A point $P$ moves along the part of the parabola $y=4-x^2$ in the first quadrant. The tangent line to the parabola at $P$ meets the $x$ -axis at $T$ and the $y$ -axis at $S$ . Let $A$ be the area of triangle $OTS$ , where $O$ is the origin. Coordinates are in centimeters, time in seconds; the $x$ -coordinate $p$ of $P$ is a differentiable function of time.

(a) [8 pts] Express $A$ as a function of $p$ .
(b) [6 pts] Find $\frac{dA}{dt}$ at a moment when $p=1$ and $p$ is increasing at a rate of $\tfrac12$ cm/s.
(c) [7 pts] Find all possible values of $p$ at a moment when $A$ is decreasing at a rate of $5$ cm²/s and $p$ is increasing at a rate of $4$ cm/s.
(d) [4 pts] At which position of $P$ is $\frac{dA}{dt}=0$ even though $P$ is moving?

Adım adım çözüm

(a) $P=(p,4-p^2)$ , $0\lt p\lt 2$ . Eğim $y'=-2p$ . Teğet: $y=4-p^2-2p(x-p)=4+p^2-2px$ .

$S$ : $x=0\Rightarrow y=4+p^2$ .
$T$ : $y=0\Rightarrow x=\frac{4+p^2}{2p}$ .
$\begin{aligned}A(p)&=\frac12\cdot\frac{4+p^2}{2p}\cdot(4+p^2)\\&=\frac{(4+p^2)^2}{4p}.\end{aligned}$

(b) Önce $A'(p)$ (quotient rule, sonra çarpanlara ayır):
$\begin{aligned}A'(p)&=\frac{2(4+p^2)(2p)\cdot4p}{16p^2}\\&\quad-\frac{4(4+p^2)^2}{16p^2}\\&=\frac{(4+p^2)(3p^2-4)}{4p^2}.\end{aligned}$
$\frac{dA}{dt}=A'(p)\,\frac{dp}{dt}$ . $p=1$ : $A'(1)=\frac{5\cdot(-1)}{4}=-\frac54$ , $\frac{dA}{dt}=-\frac54\cdot\frac12=-\frac58$ cm²/s (alan azalıyor).

(c) $A'(p)\cdot4=-5\Rightarrow (4+p^2)(3p^2-4)=-5p^2\Rightarrow 3p^4+13p^2-16=0\Rightarrow(3p^2+16)(p^2-1)=0.$
$3p^2+16\gt 0$ → $p^2=1$ , $p\gt 0$ → $p=1$ (tek değer; $0\lt 1\lt 2$ ✓). "All possible values" dese de tek kök çıkabilir, ama bunu çarpanlara ayırıp göstermek zorundasın.

(d) $\dot p\ne0$ iken $\dot A=0\Leftrightarrow A'(p)=0\Leftrightarrow 3p^2=4\Leftrightarrow p=\frac{2}{\sqrt3}$ . $P=\big(\tfrac{2}{\sqrt3},\tfrac83\big)$ . (Bu aslında alanın minimum olduğu nokta, §3.1 ile bağlantı.)

(a) $A=\frac{(4+p^2)^2}{4p}$ (b) $-\tfrac58$ cm²/s (decreasing) (c) $p=1$ only (d) $p=2/\sqrt3$ , i.e. $P=(2/\sqrt3,\,8/3)$ .

Örnek 5Differentials: error propagation through an angle measurement

To find the height $h$ of a tower, a surveyor stands $30$ m from its base on level ground and measures the angle of elevation of the top as $\theta=60^\circ$ , with a possible error of $\pm1^\circ$ .

(a) [8 pts] Use differentials to estimate the maximum error in the computed height.
(b) [7 pts] Estimate the corresponding relative (percentage) error.
(c) [5 pts] Show that, for a fixed small error $d\theta$ , the relative error in $h$ equals $\frac{2\,d\theta}{\sin2\theta}$ , and find the angle $\theta\in(0,\pi/2)$ at which the relative error is smallest.
(d) [5 pts] Use a linear approximation to estimate $\tan46^\circ$ . Is it an overestimate or an underestimate?

Adım adım çözüm

Model: $h=30\tan\theta$ , $\theta$ radyan. $\theta=\pi/3$ , $|d\theta|\le1^\circ=\pi/180$ .

(a) $dh=30\sec^2\theta\,d\theta$ . $\sec^2(\pi/3)=4$ :
$|dh|\le30\cdot4\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\ \text{m}\ (\approx2.1\text{ m}).$

(b) $h=30\sqrt3$ . $\frac{|dh|}{h}=\frac{2\pi/3}{30\sqrt3}=\frac{\pi}{45\sqrt3}=\frac{\pi\sqrt3}{135}\approx0.040$ → yaklaşık %4.

(c) $\frac{dh}{h}=\frac{30\sec^2\theta\,d\theta}{30\tan\theta}=\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{2\,d\theta}{\sin2\theta}.$ $\sin2\theta$ en büyük ( $=1$ ) olduğunda bu en küçük: $\theta=\pi/4$ . Yorum: 45° ile ölçmek en güvenilir.

(d) $f(\theta)=\tan\theta$ , $a=\pi/4$ : $f(a)=1$ , $f'(a)=\sec^2(\pi/4)=2$ . $\Delta\theta=1^\circ=\pi/180$ :
$\tan46^\circ\approx1+2\cdot\frac{\pi}{180}=1+\frac{\pi}{90}.$
$f''(\theta)=2\sec^2\theta\tan\theta\gt 0$ on $(0,\pi/2)$ → concave up → teğet grafiğin altında → underestimate.

En büyük tuzak: $d\theta=1$ yazmak. Derece asla türev formülüne girmez.

(a) $|dh|\le 2\pi/3$ m $\approx2.1$ m (b) $\pi/(45\sqrt3)\approx4\%$ (c) $dh/h=2\,d\theta/\sin2\theta$ , smallest at $\theta=\pi/4$ (d) $\tan46^\circ\approx1+\pi/90$ , underestimate.

Örnek 6Rate of change of a slope; the tangent line that meets the graph again

Points $P$ and $Q$ move along a curve so that the tangent line to the curve at $P$ always passes through $Q$ (units: cm, s).

Part I. The curve is $y=x^3-3x$ , and the $x$ -coordinate $p$ of $P$ is increasing at $2$ cm/s.

(a) [5 pts] How fast is the slope of the tangent line at $P$ changing when $p=1$ ?
(b) [7 pts] Show that for $p\neq0$ the tangent line at $P$ meets the curve again at the point with $x$ -coordinate $-2p$ (this is $Q$ ).
(c) [5 pts] When $p=1$ , how fast is the slope of the tangent line at $Q$ changing?

Part II. Now the curve is the graph of an unknown twice-differentiable function $y=f(x)$ . At a certain moment:

$P$ has $x$ -coordinate $1$ , increasing at $2$ cm/s, and the tangent line at $P$ is $y=3x-1$ ;
the slope of the tangent line at $P$ is increasing at a rate of $6$ per second;
$Q$ has $x$ -coordinate $-3$ , and the tangent line at $Q$ is $y=5x+5$ .

(d) [8 pts] How fast is the $x$ -coordinate of $Q$ changing at that moment?

Adım adım çözüm

Fikir: eğim $m=f'(x)$ ; $x$ de $t$ 'nin fonksiyonu. Zincir kuralı:
$\frac{dm}{dt}=f''(x)\,\frac{dx}{dt}.$
"Eğimin değişim hızı" = ikinci türev × yatay hız. Implicit $y''$ ile related rates'in buluştuğu yer burası.

(a) $f'(x)=3x^2-3$ , $f''(x)=6x$ . $\frac{dm}{dt}=6p\,\dot p=6\cdot1\cdot2=12$ birim/s: eğim artıyor.

(b) $P$ 'deki teğet $y=f(p)+f'(p)(x-p)$ . Eğriden teğeti çıkar:
$\begin{aligned}&x^3-3x-\big[p^3-3p+(3p^2-3)(x-p)\big]\\&=x^3-p^3-3p^2(x-p)\\&=(x-p)(x^2+px-2p^2)\\&=(x-p)^2(x+2p).\end{aligned}$
$(x-p)^2$ : teğet $P$ 'de değiyor (çift kök). Öteki kesişim $x=-2p$ ; $p\ne0$ iken bu $p$ 'den farklı, yani $Q$ 'nun $x$ -koordinatı $q=-2p$ . ∎

(c) $q=-2p$ her an doğru → $\dot q=-2\dot p=-4$ cm/s. $Q$ 'daki eğim $f'(q)$ :
$\begin{aligned}\frac{dm_Q}{dt}&=f''(q)\,\dot q\\&=6(-2)(-4)=48\ \text{birim/s}.\end{aligned}$

(d) $f$ bilinmiyor ama şu ilişki her an doğru:
$f(q)=f(p)+f'(p)\,(q-p).\quad(\ast)$
$t$ 'ye göre türevle ( $f'(p)$ 'nin türevi $f''(p)\,\dot p$ ):
$\begin{aligned}f'(q)\,\dot q&=f'(p)\,\dot p+f''(p)\,\dot p\,(q-p)\\&\quad+f'(p)(\dot q-\dot p).\end{aligned}$
$f'(p)\dot p$ sadeleşir:
$\big(f'(q)-f'(p)\big)\,\dot q=f''(p)\,\dot p\,(q-p).$
Teğetlerden $f'(1)=3$ , $f'(-3)=5$ . Eğim hızından $f''(1)\cdot2=6\Rightarrow f''(1)=3$ . (Kontrol: $Q$ , $P$ 'deki teğetin üstünde mi? $3(-3)-1=-10$ ve $5(-3)+5=-10$ ✓.)
$(5-3)\,\dot q=3\cdot2\cdot(-4)\ \Rightarrow\ \dot q=-12.$
$Q$ 'nun $x$ -koordinatı $12$ cm/s ile azalıyor.

Sağlama: aynı formülü Part I'deki eğriye uygula. $p=1$ , $q=-2$ , $f'(1)=0$ , $f'(-2)=9$ , $f''(1)=6$ : $9\dot q=6\cdot2\cdot(-3)\Rightarrow\dot q=-4$ ✓, (c) ile aynı.

(a) the slope is increasing at $12$ per second (b) curve − tangent $=(x-p)^2(x+2p)$ , so $q=-2p$ (c) increasing at $48$ per second (d) $\frac{dx_Q}{dt}=-12$ cm/s (decreasing).

Sıra sende

Panik rotası: vaktin azsa önce bunlar: Soru 4, Soru 16, Soru 17, Soru 18, Soru 19, Soru 21.

Soru 1kolay

Consider the curve $x^2-xy+y^2=3$ .

(a) [6 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ .
(b) [6 pts] Write an equation for the tangent line to the curve at $(-1,1)$ .
(c) [7 pts] Find all points on the curve where the tangent line is horizontal.
(d) [6 pts] Find all points on the curve where the tangent line is vertical.

Cevapları göster

(a)

y' = (y−2x)/(2y−x)

(b)

y = x + 2

(c)

(1, 2) and (−1, −2)

(d)

(2, 1) and (−2, −1)

Tam çözüm

(a) $2x-(y+xy')+2yy'=0\Rightarrow y'(2y-x)=y-2x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x}$ .

(b) Kontrol: $1+1+1=3$ ✓. $y'=\frac{1+2}{2+1}=1$ → $y=x+2$ .

(c) Pay $=0$ : $y=2x$ . Eğriye koy: $x^2-2x^2+4x^2=3\Rightarrow x=\pm1$ . Noktalar $(1,2)$ , $(-1,-2)$ ; paydalar $2y-x=3,-3\neq0$ ✓.

(d) Payda $=0$ : $x=2y$ . $4y^2-2y^2+y^2=3\Rightarrow y=\pm1$ . Noktalar $(2,1)$ , $(-2,-1)$ ; paylar $1-4=-3$ , $-1+4=3\ne0$ ✓.

Not: $y=2x$ doğrusunun tamamı cevap değil: eğriyle kesişimi.

Soru 2orta

Sınav ikizi: 2023-24 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let $y$ be a differentiable function of $x$ satisfying
$x^2y+\sin\Big(\frac{\pi xy}{2}\Big)=2y^3$
near the point $(x,y)=(1,1)$ .

(a) [10 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ at $(1,1)$ .
(b) [15 pts] Find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(1,1)$ .

Cevapları göster

(a)

2/5

(b)

(168 − 49π²)/500 ≈ −0.63

Tam çözüm

Kontrol: $1+\sin\frac{\pi}{2}=2=2\cdot1^3$ ✓. Kısaltma: $u=\frac{\pi xy}{2}$ , $u'=\frac{\pi}{2}(y+xy')$ . Noktada $u=\frac{\pi}{2}$ : $\sin u=1$ , $\cos u=0$ .

(a) Türevle:
$\begin{aligned}&2xy+x^2y'\\&+\tfrac{\pi}{2}\cos u\,(y+xy')=6y^2y'.\end{aligned}$
$(1,1)$ 'de $\cos u=0$ : $2+y'=6y'\Rightarrow y'=\tfrac25$ .

(b) Birinci türev denklemini bir daha türevle ( $2xy$ ve $x^2y'$ çarpım, kosinüslü terim üç çarpanlı):
$\begin{aligned}&2y+4xy'+x^2y''\\&-\tfrac{\pi^2}{4}\sin u\,(y+xy')^2\\&+\tfrac{\pi}{2}\cos u\,(2y'+xy'')\\&=12y(y')^2+6y^2y''.\end{aligned}$
Noktada ( $y'=\tfrac25$ , $y+xy'=\tfrac75$ , $\sin u=1$ , $\cos u=0$ ):
$\begin{aligned}&2+\tfrac85+y''-\tfrac{\pi^2}{4}\cdot\tfrac{49}{25}=\tfrac{48}{25}+6y''\\&\Rightarrow 5y''=\tfrac{42}{25}-\tfrac{49\pi^2}{100}\end{aligned}$
$y''=\frac{168-49\pi^2}{500}\approx-0.63.$

Tuzak: $\sin u$ 'nun türevinde iç türev $\frac{\pi}{2}(y+xy')$ ; ikinci türevde bu parantezin karesi gelir. Sağ taraftaki $6y^2y'$ 'nin türevi de iki parça: $12y(y')^2+6y^2y''$ .

Soru 3orta

(a) [12 pts] Show that every curve of the family $x^2+2y^2=c$ ( $c\gt 0$ ) meets every curve of the family $y=kx^2$ ( $k\neq0$ ) at right angles at each intersection point with $x\neq0$ and $y \neq 0$ .
(b) [13 pts] Find constants $a$ and $b$ such that the curve $ax^2+bxy+y^2=7$ passes through the point $(1,2)$ and has a horizontal tangent line there.

Cevapları göster

(a)

m1·m2 = (−x/(2y))(2y/x) = −1

(b)

a = −3, b = 3

Tam çözüm

(a) Elips ailesi: $2x+4yy'=0\Rightarrow m_1=-\frac{x}{2y}$ .
Parabol ailesi: $y'=2kx$ ; $k$ 'yı yok et: $k=y/x^2$ → $m_2=\frac{2y}{x}$ (sadece $x,y$ cinsinden, parametre yok, bu kritik adım).
Kesişim noktasında: $m_1m_2=-\frac{x}{2y}\cdot\frac{2y}{x}=-1$ → teğetler dik. ∎

(b) Nokta eğri üstünde: $a+2b+4=7\Rightarrow a+2b=3$ .
Implicit türev: $2ax+by+bxy'+2yy'=0$ . $(1,2)$ , $y'=0$ : $2a+2b=0\Rightarrow a=-b$ .
$-b+2b=3\Rightarrow b=3$ , $a=-3$ . Kontrol: $y'$ 'nin paydası $bx+2y=3+4=7\ne0$ ✓ (dikey teğet değil). Eğri: $-3x^2+3xy+y^2=7$ .

Soru 4öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let $y$ be a differentiable function of $x$ satisfying
$y^2=x+\cos(\pi xy)$
near the point $(x,y)=(0,1)$ .

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ at $(0,1)$ .
(b) [4 pts] Write an equation for the tangent line to the curve at this point.
(c) [13 pts] Find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(0,1)$ .

Cevapları göster

(a)

1/2

(b)

y = x/2 + 1

(c)

−(2π² + 1)/4

Tam çözüm

Kontrol: $1=0+\cos0$ ✓. Noktada $xy=0$ : $\cos(\pi xy)=1$ , $\sin(\pi xy)=0$ .

(a) $2yy'=1-\pi\sin(\pi xy)\,(y+xy')$ . Noktada sinüslü terim ölür: $2y'=1\Rightarrow y'=\tfrac12$ .

(b) $y-1=\tfrac12(x-0)$ , yani $y=\tfrac12x+1$ .

(c) Tekrar türevle. Sağdaki terim çarpım ( $\sin$ × parantez), $\sin$ 'in türevi yine zincir:
$\begin{aligned}&2(y')^2+2yy''\\&=-\pi^2\cos(\pi xy)(y+xy')^2\\&\quad-\pi\sin(\pi xy)(2y'+xy'').\end{aligned}$
Noktada $y'=\tfrac12$ , $y+xy'=1$ , $\cos=1$ , $\sin=0$ :
$\tfrac12+2y''=-\pi^2\ \Rightarrow\ y''=-\frac{2\pi^2+1}{4}.$

Tuzak: $(y+xy')^2$ çarpanını yazmamak. Burada şans eseri $1$ 'e eşit, ama başka noktada değil: terimi her zaman yaz.

Soru 5sınav ayarı

Sınav ikizi: 2022-23 Güz MT1 Q1b kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A twice-differentiable function $f$ satisfies
$f(2x)=f(x)+3x+x^2$
for all $x$ , and $f(0)=1$ .

(a) [4 pts] Explain why the equation by itself gives no information about $f(0)$ , so that $f(0)$ has to be given separately.
(b) [7 pts] Find $f'(0)$ .
(c) [8 pts] Find $f''(0)$ .
(d) [6 pts] Estimate $f(0.1)$ by linear approximation. Assuming $f''$ is continuous, is the estimate too large or too small?

Cevapları göster

(a)

x = 0 gives f(0) = f(0): no information

(b)

f'(0) = 3

(c)

f''(0) = 2/3

(d)

≈ 1.3, too small (underestimate)

Tam çözüm

Fikir: $2x=x$ olan nokta $x=0$ ; içteki bütün $f(\cdot)$ 'ler orada aynı noktaya düşer.

(a) $x=0$ : $f(0)=f(0)+0$ . Bu her $f(0)$ değeri için doğru, yani denklem $f(0)$ hakkında hiçbir şey söylemiyor. Bu yüzden $f(0)=1$ ayrıca verilmiş.

(b) Türevle; sol tarafta zincir kuralı, iç türev $2$ :
$2f'(2x)=f'(x)+3+2x.$
$x=0$ : $2f'(0)=f'(0)+3\Rightarrow f'(0)=3$ .

(c) Bir daha türevle: $4f''(2x)=f''(x)+2$ . $x=0$ : $3f''(0)=2\Rightarrow f''(0)=\tfrac23$ .

(d) $L(x)=1+3x$ → $f(0.1)\approx1.3$ . $f''(0)=\tfrac23\gt 0$ ve $f''$ sürekli → $0$ civarında concave up, teğet grafiğin altında → tahmin too small (underestimate).

Sağlama: $f(x)=1+3x+\tfrac{x^2}{3}$ denklemi sağlıyor ( $f(2x)=1+6x+\tfrac{4x^2}{3}$ ) ve $f(0.1)=1.30\overline{3}\gt 1.3$ ✓.

Tuzak: $f(2x)$ 'in türevini $f'(2x)$ yazmak (iç türev eksik). O zaman $x=0$ 'da $f'(0)=f'(0)+3$ çelişkisi çıkar: iç türevi unuttuğunu bu söyler.

Soru 6orta

Water is pumped into an inverted conical tank at a constant rate of $\frac{\pi}{2}$ m³/min, while water also leaks out of the bottom. The tank is $6$ m tall and the radius of its top is $3$ m. At a moment when the water is $2$ m deep, the water level is rising at a rate of $\tfrac15$ m/min.

(a) [6 pts] Express the volume $V$ of water in terms of the depth $h$ .
(b) [10 pts] At what rate is water leaking out at that moment?
(c) [9 pts] How fast is the area of the water surface changing at that moment?

Cevapları göster

(a)

V = πh³/12

(b)

leaking at 3π/10 m³/min

(c)

increasing at π/5 m²/min

Tam çözüm

(a) Benzer üçgen: $\frac{r}{h}=\frac36\Rightarrow r=\frac h2$ . Sonra hacim: $V=\frac13\pi\frac{h^2}{4}h=\frac{\pi h^3}{12}$ .

(b) $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{4}\frac{dh}{dt}=\frac{\pi\cdot4}{4}\cdot\frac15=\frac{\pi}{5}$ m³/min (net). Net = giren − sızan: $\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{2}-L\Rightarrow L=\frac{3\pi}{10}$ m³/min.

(c) $S=\pi r^2=\frac{\pi h^2}{4}$ → $\dot S=\frac{\pi h}{2}\dot h=\frac{\pi\cdot2}{2}\cdot\frac15=\frac{\pi}{5}$ m²/min (artıyor).

Soru 7sınav ayarı

Sınav ikizi: 2022-23 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A point $P$ moves along the circle $x^2+y^2=25$ in the first quadrant (units: cm, time: s). The tangent line to the circle at $P$ meets the $x$ -axis at $Q$ ; $O$ is the origin. At a certain moment $P=(3,4)$ and the $x$ -coordinate of $P$ is increasing at a rate of $2$ cm/s.

(a) [5 pts] At what rate is the $y$ -coordinate of $P$ changing?
(b) [6 pts] At what rate is the $x$ -coordinate of $Q$ changing?
(c) [8 pts] At what rate is the area of triangle $OPQ$ changing?
(d) [6 pts] At what rate is the angle $\theta=\angle POQ$ changing?

Cevapları göster

(a)

dy/dt = −3/2 cm/s

(b)

−50/9 cm/s

(c)

decreasing at 625/36 cm²/s

(d)

decreasing at 1/2 rad/s

Tam çözüm

$P=(x,y)$ , her an $x^2+y^2=25$ .

(a) $x\dot x+y\dot y=0\Rightarrow 3\cdot2+4\dot y=0\Rightarrow\dot y=-\tfrac32$ cm/s.

(b) $P$ 'deki teğet (yarıçapa dik): $xX+yY=25$ . $Y=0\Rightarrow Q=\big(\tfrac{25}{x},0\big)$ . $\frac{d}{dt}\frac{25}{x}=-\frac{25}{x^2}\dot x=-\frac{25}{9}\cdot2=-\frac{50}{9}$ cm/s.

(c) Taban $OQ=25/x$ , yükseklik $y$ : $A=\frac{25y}{2x}$ .
$\begin{aligned}\dot A&=\frac{25}{2}\cdot\frac{\dot yx-y\dot x}{x^2}=\frac{25}{2}\cdot\frac{-\tfrac92-8}{9}\\&=-\frac{625}{36}\ \text{cm}^2/\text{s}.\end{aligned}$

(d) $\cos\theta=\frac{x}{5}\Rightarrow-\sin\theta\,\dot\theta=\frac{\dot x}{5}$ . $\sin\theta=\tfrac45$ : $-\tfrac45\dot\theta=\tfrac25\Rightarrow\dot\theta=-\tfrac12$ rad/s (açı azalıyor).

Soru 8sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

The radius $r$ and the height $h$ of a closed right circular cylinder change with time as differentiable functions. At a certain moment:

the radius is decreasing at a rate of $1$ cm/s,
the height is increasing at a rate of $2$ cm/s,
the volume is decreasing at a rate of $8\pi$ cm³/s,
the total surface area (including top and bottom) is decreasing at a rate of $10\pi$ cm²/s.

Find all possible values of $r$ and $h$ at this moment. [25 pts]

[Make no assumption about how these quantities depend on time beyond what is stated.]

Cevapları göster

(a)

(r, h) = (1, 5) or (4, 5) cm

Tam çözüm

Her an: $V=\pi r^2h$ , $S=2\pi r^2+2\pi rh$ .

Türevler (sonra sayı!):
$\begin{aligned}\dot V&=\pi(2rh\dot r+r^2\dot h)\\ \dot S&=2\pi(2r\dot r+\dot rh+r\dot h)\end{aligned}$
$\dot r=-1$ , $\dot h=2$ :

$\dot S=2\pi(-2r-h+2r)=-2\pi h=-10\pi\Rightarrow h=5$ . (Güzel: $r$ tamamen düştü.)
$\dot V=\pi(-2rh+2r^2)=\pi(2r^2-10r)=-8\pi\Rightarrow r^2-5r+4=0\Rightarrow r=1$ veya $r=4$ .

İkisi de pozitif ve her iki koşulu sağlıyor (kontrol et: $r=4$ : $\pi(32-40)=-8\pi$ ✓). Cevap: $(r,h)=(1,5)$ veya $(4,5)$ cm. "All possible" dendi: birini atlayan puan kaybeder.

Soru 9kolay

Use linear approximations (no calculator) to estimate the following. In each case state whether the estimate is an overestimate or an underestimate, and justify.

(a) [8 pts] $\sqrt[3]{26.9}$
(b) [8 pts] $\sqrt{99.8}$
(c) [9 pts] $(1.02)^{10}$

Cevapları göster

(a)

3 − 1/270 (overestimate)

(b)

9.99 (overestimate)

(c)

1.2 (underestimate)

Tam çözüm

(a) $f(x)=x^{1/3}$ , $a=27$ : $f(27)=3$ , $f'(27)=\tfrac13\cdot27^{-2/3}=\tfrac1{27}$ . $\sqrt[3]{26.9}\approx3+\tfrac1{27}(-0.1)=3-\tfrac1{270}$ . $f''=-\tfrac29x^{-5/3}\lt 0$ → concave down → overestimate.

(b) $f(x)=\sqrt x$ , $a=100$ : $f'(100)=\tfrac1{20}$ . $\sqrt{99.8}\approx10-\tfrac{0.2}{20}=9.99$ . $f''\lt 0$ → overestimate.

(c) $f(x)=x^{10}$ , $a=1$ : $f'(1)=10$ . $(1.02)^{10}\approx1+10(0.02)=1.2$ . $f''=90x^8\gt 0$ → concave up → underestimate.

Soru 10orta

The radius of a sphere is measured as $5$ cm with a possible error of at most $0.02$ cm.

(a) [8 pts] Use differentials to estimate the maximum error in the computed volume, and the relative error.
(b) [8 pts] Do the same for the computed surface area.
(c) [9 pts] Approximately how accurately (as a percentage) must the radius be measured so that the relative error in the volume is at most $1.5\%$ ?

Cevapları göster

(a)

dV = 2π cm³, 1.2%

(b)

dS = 0.8π cm², 0.8%

(c)

within 0.5%

Tam çözüm

(a) $V=\tfrac43\pi r^3$ , $dV=4\pi r^2dr=4\pi\cdot25\cdot0.02=2\pi$ cm³. Göreli: $\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}=3\cdot\frac{0.02}{5}=0.012$ → %1.2.

(b) $S=4\pi r^2$ , $dS=8\pi r\,dr=8\pi\cdot5\cdot0.02=0.8\pi$ cm². Göreli: $2\frac{dr}{r}=0.008$ → %0.8.

(c) $\frac{dV}{V}=3\frac{dr}{r}\le0.015\Rightarrow\frac{dr}{r}\le0.005$ → yarıçap %0.5 hassasiyetle ölçülmeli.

Kuvvet kuralı: $y=Cx^k$ ise göreli hata $k$ katına çıkar.

Soru 11orta

Let $g(x)=x^3+x+3$ . The function $g$ is increasing on $(-\infty,\infty)$ , so there is a differentiable function $h$ with $g(h(x))=x$ for all $x$ ; that is, $y=h(x)$ satisfies $y^3+y+3=x$ .

(a) [5 pts] Find $h(5)$ .
(b) [8 pts] Find $h'(5)$ using implicit differentiation.
(c) [8 pts] Find $h''(5)$ .
(d) [4 pts] Estimate $h(5.2)$ by linear approximation, and decide whether it is an over- or underestimate.

Cevapları göster

(a)

h(5) = 1

(b)

h'(5) = 1/4

(c)

h''(5) = −3/32

(d)

≈ 1.05, overestimate

Tam çözüm

(a) $y^3+y+3=5\Rightarrow y^3+y-2=0\Rightarrow(y-1)(y^2+y+2)=0$ ; ikinci çarpanın reel kökü yok ( $\Delta=-7$ ) → $h(5)=1$ .

(b) $3y^2y'+y'=1\Rightarrow y'=\frac{1}{3y^2+1}$ . $y=1$ : $h'(5)=\tfrac14$ .

(c) Tekrar türevle: $6y(y')^2+3y^2y''+y''=0$ . $(y,y')=(1,\tfrac14)$ : $\tfrac{6}{16}+4y''=0\Rightarrow h''(5)=-\tfrac{3}{32}$ .

(d) $h(5.2)\approx1+\tfrac14(0.2)=1.05$ . $h''(5)\lt 0$ (aslında $h''=-6y(y')^3\lt 0$ her $y\gt 0$ için) → concave down → overestimate.

Not: $h$ aslında $g^{-1}$ ; bu, ters fonksiyonun türevini (Ch. 6) implicit differentiation ile şimdiden bulmak demek: $h'(5)=1/g'(1)$ .

Soru 12sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Güz MT1 Q1c kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

(a) [10 pts] Find constants $a$ and $b$ such that $y=a\sin2x+b\cos2x$ satisfies $y''+y'-2y=\sin2x$ for all $x$ .
(b) [10 pts] Let $f(x)=\frac{1}{x-x^2}$ . Find a formula for $f^{(n)}(x)$ , $n\ge1$ , and prove it.
(c) [5 pts] Show that $f^{(n)}(\tfrac12)=0$ for every odd $n$ , and compute $f^{(n)}(\tfrac12)$ for even $n$ .

Cevapları göster

(a)

a = −3/20, b = −1/20

(b)

f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ n!/x^{n+1} + n!/(1−x)^{n+1}

(c)

0 for odd n; n!·2^{n+2} for even n

Tam çözüm

(a) $y'=2a\cos2x-2b\sin2x$ , $y''=-4y$ . Yerine koy:
$\begin{aligned}y''+y'-2y&=-6y+y'\\&=(-6a-2b)\sin2x\\&\quad+(2a-6b)\cos2x.\end{aligned}$
Katsayıları eşitle: $-6a-2b=1$ , $2a-6b=0$ → $a=3b$ , $-20b=1$ → $b=-\tfrac1{20}$ , $a=-\tfrac{3}{20}$ .

(b) Kısmi kesir: $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac{1}{1-x}$ . İddia:
$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}+\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}.$
Tümevarım. $n=1$ : $f'=-\frac1{x^2}+\frac1{(1-x)^2}$ ✓. $n$ için doğruysa türevle: $\frac{d}{dx}x^{-(n+1)}=-(n+1)x^{-(n+2)}$ ve $\frac{d}{dx}(1-x)^{-(n+1)}=(n+1)(1-x)^{-(n+2)}$ → $\frac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{x^{n+2}}+\frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}$ ✓. ∎

(c) $x=\tfrac12$ : $f^{(n)}(\tfrac12)=n!\,2^{n+1}\big((-1)^n+1\big)$ . Tek $n$ → $0$ ; çift $n$ → $n!\,2^{n+2}$ .
Sezgi: $f(1-x)=f(x)$ : grafik $x=\tfrac12$ 'ye göre simetrik, tek mertebe türevler orada sıfır olmak zorunda.

Soru 13orta

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let $y$ be a differentiable function of $x$ satisfying
$y^2+xy-x^3=1.$

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ , then evaluate it at $(1,1)$ .
(b) [6 pts] Write an equation for the tangent line to the curve at $(1,1)$ .
(c) [11 pts] Find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(1,1)$ .

Cevapları göster

(a)

y' = (3x²−y)/(2y+x); at (1,1): 2/3

(b)

y = (2/3)x + 1/3

(c)

y'' = 34/27

Tam çözüm

(a) Her terimi $x$ 'e göre türevle, $y$ gördüğün yerde zincir kuralı ( $y'$ çarpanı):
$\begin{gathered}2yy'+(y+xy')-3x^2=0\\ \Rightarrow\ y'=\frac{3x^2-y}{2y+x}.\end{gathered}$
$(1,1)$ 'de: $y'=\frac{3-1}{2+1}=\frac23$ .

(b) $y-1=\tfrac23(x-1)$ , yani $y=\tfrac23x+\tfrac13$ .

(c) Kesirli formülü türevlemek yerine birinci türev denklemini bir daha türevle (daha az hata):
$\begin{aligned}&2(y')^2+2yy''\\&+y'+y'+xy''-6x=0.\end{aligned}$
Noktayı ve $y'=\tfrac23$ 'ü yerine koy: $\tfrac89+2y''+\tfrac43+y''-6=0\Rightarrow 3y''=\tfrac{34}{9}\Rightarrow y''=\tfrac{34}{27}.$

Tuzak: $xy'$ 'nin türevi $y'+xy''$ : ürün kuralını unutup sadece $xy''$ yazan puan kaybeder.

Soru 14orta

A balloon is released from point $A$ on level ground and rises vertically at $3$ m/s. An observer at point $B$ on the ground walks straight toward $A$ at $2$ m/s. Let $h$ be the height of the balloon, $x$ the distance from $B$ to $A$ , $D$ the distance from the observer to the balloon and $\theta$ the angle of elevation of the balloon seen from the observer. At a certain moment $h=30$ m and $x=40$ m.

(a) [10 pts] Find a relation between $D$ , $x$ , $h$ and use it to find $\frac{dD}{dt}$ at that moment. Is the distance increasing or decreasing?
(b) [10 pts] Find $\frac{d\theta}{dt}$ at that moment.
(c) [5 pts] A student writes $D^2=x^2+900$ first and then differentiates. Explain precisely what goes wrong.

Cevapları göster

(a)

D² = x² + h²; dD/dt = 1/5 m/s (increasing)

(b)

dθ/dt = 9/125 rad/s

(c)

h = 30 only at that instant; substituting first treats h as constant, drops 2h·h' and gives the wrong value −8/5

Tam çözüm

(a) Pisagor: $D^2=x^2+h^2$ . Türev: $2DD'=2xx'+2hh'$ . O anda $D=50$ , $x'=-2$ (yaklaşıyor → $x$ azalıyor, işareti eksi), $h'=3$ :
$D'=\frac{40(-2)+30(3)}{50}=\frac15\text{ m/s}\gt 0$ → mesafe artıyor (balon, gözlemcinin yaklaşmasından hızlı kaçıyor).

(b) $\tan\theta=\frac hx$ . Türev: $\sec^2\theta\,\theta'=\frac{h'x-hx'}{x^2}=\frac{3\cdot40-30(-2)}{1600}=\frac{9}{80}$ . $\tan\theta=\tfrac34\Rightarrow\sec^2\theta=\tfrac{25}{16}$ :
$\theta'=\frac{9}{80}\cdot\frac{16}{25}=\frac{9}{125}\text{ rad/s}.$

(c) $h=30$ sadece o anın değeri; $h$ zamanla değişiyor ( $h'=3\neq0$ ). Önce yerine koyarsan $h$ 'yi sabit yapmış olursun ve $2hh'$ terimi kaybolur: $D'=xx'/D=-\tfrac{8}{5}$ gibi yanlış (işareti bile ters) bir sonuç çıkar. Kural: önce türev, sonra sayı.

Soru 15sınav ayarı

The curve $C:\;x^2y+a\,y^3=b$ passes through the point $(1,1)$ , and the tangent line to $C$ at $(1,1)$ has slope $-\tfrac12$ . Near $(1,1)$ , $C$ is the graph of a differentiable function $y=y(x)$ .

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ , $y$ and $a$ , and determine the constants $a$ and $b$ .
(b) [12 pts] With these values, find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(1,1)$ .
(c) [7 pts] Use a linear approximation to estimate $y(1.1)$ . Is your estimate an overestimate or an underestimate? Justify.

Cevapları göster

(a)

y' = −2xy/(x²+3ay²); a = 1, b = 2

(b)

y''(1) = −3/8

(c)

y(1.1) ≈ 0.95; overestimate (y''<0, concave down)

Tam çözüm

(a) Türev: $2xy+x^2y'+3ay^2y'=0\Rightarrow y'=-\frac{2xy}{x^2+3ay^2}$ . $(1,1)$ 'de $y'=-\frac{2}{1+3a}=-\frac12\Rightarrow a=1$ . Noktadan geçme: $b=1+a=2$ .

Sertöz klasiği: değeri ver, sabiti iste. Yöntem değişmiyor: genel $y'$ 'yi bul, koşulu denkleme çevir.

(b) $2xy+x^2y'+3y^2y'=0$ 'ı bir daha türevle:
$\begin{aligned}&2y+2xy'+2xy'+x^2y''\\&+6y(y')^2+3y^2y''=0.\end{aligned}$
$(1,1)$ , $y'=-\tfrac12$ : $2-2+y''+\tfrac32+3y''=0\Rightarrow y''=-\tfrac38$ .

(c) $L(x)=1-\tfrac12(x-1)$ → $y(1.1)\approx0.95$ . $y''(1)\lt 0$ ve $y''$ sürekli olduğundan $x=1$ civarında eğri aşağı bükey, teğet doğrusu eğrinin üstünde kalır → overestimate.

Soru 16öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2021-22 Güz MT Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let $y$ be a differentiable function of $x$ satisfying
$y\sin\!\Big(\frac{\pi x}{2}\Big)+xy^2=2$
near the point $(1,1)$ .

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ at $(1,1)$ .
(b) [4 pts] Write an equation for the tangent line at $(1,1)$ .
(c) [14 pts] Find $\frac{d^2y}{dx^2}$ at $(1,1)$ .
(d) [4 pts] Near $(1,1)$ , does the curve lie above or below its tangent line? Explain.

Cevapları göster

(a)

y' = −1/3

(b)

y = −x/3 + 4/3

(c)

y'' = π²/12 + 10/27

(d)

above (y''>0, concave up)

Tam çözüm

Kısaltma: $S=\sin\frac{\pi x}{2}$ , $C=\cos\frac{\pi x}{2}$ . $x=1$ 'de $S=1$ , $C=0$ : bu sıfır hesabı çok kısaltıyor.

(a) $y'S+\tfrac{\pi}{2}yC+y^2+2xyy'=0$ . Noktada: $y'+0+1+2y'=0\Rightarrow y'=-\tfrac13$ .

(b) $y-1=-\tfrac13(x-1)$ , yani $y=-\tfrac13x+\tfrac43$ .

(c) Birinci türev denklemini tekrar türevle (her çarpım iki terim verir):
$\begin{aligned}&y''S+\tfrac{\pi}{2}y'C+\tfrac{\pi}{2}y'C-\tfrac{\pi^2}{4}yS\\&+2yy'+2yy'+2x(y')^2+2xyy''=0.\end{aligned}$
Noktada ( $S=1,C=0,y'=-\tfrac13$ ): $y''-\tfrac{\pi^2}{4}-\tfrac43+\tfrac29+2y''=0$
$\Rightarrow 3y''=\frac{\pi^2}{4}+\frac{10}{9}\Rightarrow y''=\frac{\pi^2}{12}+\frac{10}{27}.$

(d) $y''(1)\gt 0$ → eğri orada yukarı bükey (concave up), yani $x=1$ civarında eğri teğetin üstünde.

Soru 17öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

The length $x$ and the width $y$ of a rectangle change with time (units: cm, s). At a certain moment:

the length is increasing at $2$ cm/s,
the width is decreasing at $1$ cm/s,
the area is increasing at $1$ cm²/s,
the diagonal is increasing at $1$ cm/s.

[Make no assumption about how these quantities depend on time beyond what is stated.]

(a) [8 pts] Write two equations relating $x$ , $y$ and the diagonal $D$ at that moment.
(b) [12 pts] Find all possible values of $x$ and $y$ at that moment.
(c) [4 pts] Your algebra produces a second solution. Explain why it must be rejected.
(d) [6 pts] Let $\theta$ be the angle between the diagonal and the side of length $x$ . Find $\frac{d\theta}{dt}$ at that moment.

Cevapları göster

(a)

2y − x = 1 and D = 2x − y, with D² = x² + y²

(b)

x = 2 cm, y = 3/2 cm (D = 5/2 cm)

(c)

y = 1/2 gives x = 0 and D = −1/2: not a rectangle, extraneous root from squaring

(d)

dθ/dt = −4/5 rad/s

Tam çözüm

Bu, 'oranlar verilmiş, o anki boyutu bul' tipi ters related rates (2024-25 Güz MT1 Q3 kalıbının çevrilmiş hali).

(a) $A=xy\Rightarrow A'=x'y+xy'$ : $1=2y-x$ .
$D^2=x^2+y^2\Rightarrow DD'=xx'+yy'$ : $D=2x-y$ .

(b) İlkinden $x=2y-1$ → $D=3y-2$ . $D^2=x^2+y^2$ :
$\begin{aligned}&(3y-2)^2=(2y-1)^2+y^2\\&\Rightarrow 4y^2-8y+3=0\\&\Rightarrow y=\tfrac32\text{ veya }y=\tfrac12.\end{aligned}$
$y=\tfrac32\Rightarrow x=2,\;D=\tfrac52$ ✓.

(c) $y=\tfrac12$ verir $x=0$ ve $D=-\tfrac12$ : dikdörtgenin kenarı sıfır olamaz, köşegen negatif olamaz. Kare almak sahte kök üretti: her kökü fiziksel anlamla kontrol et. Tek cevap $x=2$ cm, $y=\tfrac32$ cm.

(d) $\tan\theta=\frac yx$ : $\sec^2\theta\,\theta'=\frac{y'x-yx'}{x^2}=\frac{-2-3}{4}=-\frac54$ . $\tan\theta=\tfrac34\Rightarrow\sec^2\theta=\tfrac{25}{16}$ → $\theta'=-\tfrac54\cdot\tfrac{16}{25}=-\tfrac45$ rad/s.

Soru 18öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Güz MT1 Q4 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A camera $P$ that films a football match hangs from two cables tied to the tops $A$ and $B$ of two masts. $A$ and $B$ are at the same height and $14$ m apart, and the camera is always below the line $AB$ . Let $r=|PA|$ , $s=|PB|$ , and let $y$ be the distance from $P$ to the line $AB$ . Winches change the cable lengths. At a certain moment $r=13$ m and $s=15$ m, cable $PA$ is being reeled in at $1$ m/s and cable $PB$ is being let out at $1$ m/s.

[Make no assumption about how these quantities depend on time beyond what is stated.]

(a) [6 pts] Put $A=(0,0)$ , $B=(14,0)$ and $P=(x,-y)$ . Find $x$ and $y$ at that moment.
(b) [10 pts] At that moment, how fast is the camera moving horizontally? Is it rising or falling, and how fast?
(c) [3 pts] Find the speed of the camera at that moment.
(d) [6 pts] Show that, at this position, whenever both cables are being reeled in (at any rates), the camera must be rising.

Cevapları göster

(a)

x = 5 m, y = 12 m

(b)

dx/dt = −2 m/s (toward A); dy/dt = −1/4 m/s, so the camera rises at 1/4 m/s

(c)

√65/4 m/s

(d)

168·dy/dt = 117·dr/dt + 75·ds/dt < 0, so y decreases: the camera rises

Tam çözüm

(a) $r^2=x^2+y^2$ , $s^2=(x-14)^2+y^2$ . Çıkar: $s^2-r^2=196-28x\Rightarrow 56=196-28x\Rightarrow x=5$ , $y=\sqrt{169-25}=12$ .

(b) Her an geçerli iki denklemi $t$ 'ye göre türevle (önce türev, sonra sayı):
$\begin{aligned}r\dot r&=x\dot x+y\dot y\\ s\dot s&=(x-14)\dot x+y\dot y\end{aligned}$
Verilenler: $\dot r=-1$ (sarılıyor, kısalıyor), $\dot s=+1$ . Sayılar:
$\begin{aligned}-13&=5\dot x+12\dot y\\ 15&=-9\dot x+12\dot y\end{aligned}$
Çıkar: $-28=14\dot x\Rightarrow\dot x=-2$ ; sonra $12\dot y=-13+10\Rightarrow\dot y=-\tfrac14$ .
$y$ (hattın altındaki derinlik) azalıyor → kamera $\tfrac14$ m/s ile yükseliyor; yatayda $2$ m/s ile $A$ 'ya doğru gidiyor.

Not: $\dot x$ ve $\dot y$ hiç verilmedi; ikisini de bilinmeyen tutup iki denklemden çözmek zorundasın. "Make no assumption" notu tam bunu ister.

(c) $\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}=\sqrt{4+\tfrac1{16}}=\tfrac{\sqrt{65}}{4}$ m/s.

(d) $\dot r\lt 0$ ve $\dot s\lt 0$ olsun: $5\dot x+12\dot y=13\dot r\lt 0$ ve $-9\dot x+12\dot y=15\dot s\lt 0$ . $\dot x$ 'i yok etmek için ilkini $9$ , ikincisini $5$ ile çarpıp topla:
$168\,\dot y=117\,\dot r+75\,\dot s\lt 0\ \Rightarrow\ \dot y\lt 0.$
$y$ azalır, kamera yükselir. İşe yarayan şey: $P$ iki direğin arasında ( $0\lt x\lt 14$ ), bu yüzden $\dot x$ 'in katsayıları zıt işaretli ve eleme pozitif çarpanlarla yapılabiliyor.

Soru 19öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2023-24 Güz MT1 Q4 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A pulley hangs from a crane and moves vertically; its height above the ground is $h$ . A rope of fixed length $L$ runs over the pulley: one end is tied to a cart on the ground at horizontal distance $x$ from the point directly below the pulley, and the other end hangs straight down and carries a block at height $b$ above the ground (the block is below the pulley). Ignore the size of the pulley, the cart and the block. At a certain moment $h=6$ m, $x=8$ m, the pulley is rising at $1$ m/s and the cart is moving away at $2$ m/s.

[Make no assumption about how these quantities depend on time beyond what is stated.]

(a) [6 pts] Express $L$ in terms of $x$ , $h$ and $b$ .
(b) [10 pts] Find $\frac{db}{dt}$ at that moment. Is the block rising or falling?
(c) [4 pts] How fast is the block moving relative to the pulley?
(d) [8 pts] With the same position and the same pulley speed, at what velocity $\frac{dx}{dt}$ would the cart have to move for the block to be momentarily at rest? Interpret the sign.

Cevapları göster

(a)

L = √(x²+h²) + h − b

(b)

db/dt = 16/5 m/s (rising)

(c)

11/5 m/s toward the pulley

(d)

dx/dt = −2 m/s (cart moves toward the pulley at 2 m/s)

Tam çözüm

(a) Eğik parça $\sqrt{x^2+h^2}$ , dik parça $h-b$ :
$L=\sqrt{x^2+h^2}+h-b.$
Dikkat: $h$ iki yerde var ve sabit değil (makara hareket ediyor): en sık kaybedilen puan burası.

(b) $L$ sabit: $0=\frac{xx'+hh'}{\sqrt{x^2+h^2}}+h'-b'$ . O anda kök $=10$ :
$b'=\frac{8\cdot2+6\cdot1}{10}+1=\frac{16}{5}\text{ m/s}\gt 0$ → blok yükseliyor.

(c) $b'-h'=\tfrac{16}{5}-1=\tfrac{11}{5}$ m/s: blok makaraya $\tfrac{11}{5}$ m/s ile yaklaşıyor.

(d) $b'=0$ : $\frac{8x'+6}{10}+1=0\Rightarrow x'=-2$ m/s. Eksi işaret: araba makaranın altına doğru yaklaşmalı; makaranın yükselmesiyle uzayan ipi araba geri vererek dengeliyor.

Soru 20sınav ayarı

Sınav ikizi: 2022-23 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A point $P$ moves along the curve $y=\frac1x$ , $x\gt 0$ . The tangent line to the curve at $P$ meets the $x$ -axis at $A$ and the $y$ -axis at $B$ ; $O$ is the origin. Let $a$ denote the $x$ -coordinate of $P$ .

(a) [6 pts] Find the coordinates of $A$ and $B$ in terms of $a$ .
(b) [10 pts] Suppose $a$ increases at $3$ units/s. Find the rate of change of the length $|AB|$ at the moment when $a=2$ .
(c) [6 pts] Show that the area of triangle $OAB$ does not change as $P$ moves. What does this say about its rate of change, whatever the speed of $P$ ?
(d) [6 pts] Show that $P$ is the midpoint of $AB$ , and use this to find the rate of change of $|OP|$ at the same moment without differentiating again.

Cevapları göster

(a)

A = (2a, 0), B = (0, 2/a)

(b)

d|AB|/dt = 45/(2√17)

(c)

Area ≡ 2, so its rate is 0 for any speed

(d)

|OP| = |AB|/2, d|OP|/dt = 45/(4√17)

Tam çözüm

(a) $y'=-\frac1{x^2}$ . $P=(a,\tfrac1a)$ 'da teğet: $y-\tfrac1a=-\tfrac1{a^2}(x-a)$ , yani $y=-\frac{x}{a^2}+\frac2a$ .
$y=0\Rightarrow A=(2a,0)$ ; $x=0\Rightarrow B=(0,\tfrac2a)$ .

(b) $|AB|^2=4a^2+\frac4{a^2}$ . Türev: $2|AB|\,|AB|'=\Big(8a-\frac8{a^3}\Big)a'$ . $a=2$ : $|AB|=\sqrt{17}$ , $(16-1)\cdot3=45$ :
$|AB|'=\frac{45}{2\sqrt{17}}\text{ units/s}.$

(c) Alan $=\tfrac12\cdot2a\cdot\tfrac2a=2$ : $a$ 'dan bağımsız. Sabit fonksiyonun türevi $0$ ; $\frac{d(\text{Area})}{dt}=0\cdot a'=0$ , $P$ ne hızla giderse gitsin. (Kavramsal nokta: zincir kuralında $\frac{dA}{da}=0$ ise hız önemsiz.)

(d) $AB$ 'nin orta noktası $\big(a,\tfrac1a\big)=P$ . Dik üçgende ( $O$ 'da dik açı) hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıkta → $|OP|=\tfrac12|AB|$ her an, dolayısıyla
$|OP|'=\tfrac12|AB|'=\frac{45}{4\sqrt{17}}\text{ units/s}.$

Soru 21öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Güz MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A twice-differentiable function $f$ satisfies
$f(x^2+x-1)+f(x)=2x^3$
for all real $x$ .

(a) [3 pts] Find the positive number $c$ with $c^2+c-1=c$ , and find $f(c)$ .
(b) [7 pts] Find $f'(1)$ .
(c) [8 pts] Find $f''(1)$ .
(d) [7 pts] Write the linearization $L(x)$ of $f$ at $x=1$ and use it to estimate $f(0.9)$ . Assuming $f''$ is continuous, is the estimate too large or too small? Justify.

Cevapları göster

(a)

c = 1, f(1) = 1

(b)

f'(1) = 3/2

(c)

f''(1) = 9/10

(d)

L(x) = 1 + (3/2)(x − 1); f(0.9) ≈ 0.85, too small (concave up)

Tam çözüm

(a) $c^2+c-1=c\Rightarrow c^2=1$ , pozitif kök $c=1$ . $x=1$ 'de iki $f$ de aynı noktaya düşer: $2f(1)=2\Rightarrow f(1)=1$ . (Fonksiyonel denklemde ilk iş: içteki ifadeyi $x$ 'e eşitleyen "sabit noktayı" bul.)

(b) Türevle; ilk terimde zincir kuralı, iç türev $2x+1$ :
$(2x+1)f'(x^2+x-1)+f'(x)=6x^2.$
$x=1$ : $3f'(1)+f'(1)=6\Rightarrow f'(1)=\tfrac32$ .

(c) Bir daha türevle; ilk terim çarpım, iki parça verir:
$\begin{aligned}&2f'(x^2+x-1)\\&+(2x+1)^2f''(x^2+x-1)\\&+f''(x)=12x.\end{aligned}$
$x=1$ : $3+9f''(1)+f''(1)=12\Rightarrow f''(1)=\tfrac{9}{10}$ .

(d) $L(x)=1+\tfrac32(x-1)$ → $f(0.9)\approx1-0.15=0.85$ . $f''(1)=\tfrac{9}{10}\gt 0$ ve $f''$ sürekli → $1$ civarında concave up, teğet grafiğin altında → $0.85$ too small (underestimate). Noktanın $1$ 'in solunda olması bunu değiştirmez: konkavlık iki tarafta aynı.

Tuzak: $(2x+1)f'(\cdots)$ 'i türevlerken $2f'(\cdots)$ parçasını atlamak; o zaman $f''(1)=\tfrac65$ gibi yanlış bir sayı çıkar.

Soru 22sınav ayarı

Sınav ikizi: 2021-22 Güz MT Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A particle moves along the curve
$x^2+xy+y^3=7$
so that its $x$ -coordinate increases at $3$ cm/s. Let $m=\frac{dy}{dx}$ denote the slope of the curve at the particle's position.

(a) [8 pts] Find $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ , and evaluate it at $(2,1)$ .
(b) [5 pts] Find $\frac{dy}{dt}$ when the particle passes through $(2,1)$ .
(c) [12 pts] Explain why $\frac{dm}{dt}=\frac{d^2y}{dx^2}\cdot\frac{dx}{dt}$ , and find $\frac{dm}{dt}$ at $(2,1)$ .
(d) [5 pts] Find the rate at which the distance from the particle to the origin is changing at $(2,1)$ .

Cevapları göster

(a)

y' = −(2x+y)/(x+3y²); at (2,1): −1

(b)

dy/dt = −3 cm/s

(c)

chain rule (m is a function of x, x of t); dm/dt = −18/5 per s (y'' = −6/5)

(d)

dD/dt = 3/√5 cm/s

Tam çözüm

(a) $2x+y+xy'+3y^2y'=0\Rightarrow y'=-\frac{2x+y}{x+3y^2}$ . $(2,1)$ : $y'=-\tfrac55=-1$ .

(b) Zincir kuralı: $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=(-1)(3)=-3$ cm/s.

(c) $m$ , $x$ 'in fonksiyonu ( $m=y'(x)$ ), $x$ de $t$ 'nin fonksiyonu. Zincir kuralı: $\frac{dm}{dt}=\frac{dm}{dx}\frac{dx}{dt}=y''\,x'$ . Bu implicit d²y/dx² ile related rates'in birleşimi: iki sık konu tek soruda.

$2x+y+xy'+3y^2y'=0$ 'ı türevle: $2+y'+y'+xy''+6y(y')^2+3y^2y''=0$ . $(2,1)$ , $y'=-1$ : $2-2+2y''+6+3y''=0\Rightarrow y''=-\tfrac65$ .
$\frac{dm}{dt}=-\frac65\cdot3=-\frac{18}{5}\text{ s}^{-1}.$

(d) $D^2=x^2+y^2$ , $D=\sqrt5$ : $D'=\frac{xx'+yy'}{D}=\frac{6-3}{\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt5}$ cm/s.

Soru 23sınav ayarı

Sınav ikizi: 2021-22 Güz MT Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Points $P$ and $Q$ move along the graph of a twice-differentiable function $y=f(x)$ so that the tangent line to the graph at $P$ passes through $Q$ at all times. Their coordinates are differentiable functions of time (units: m, s). At a certain moment:

$P$ has $x$ -coordinate $3$ , increasing at $1$ m/s, and the tangent line at $P$ is $y=-2x+7$ ;
the slope of the tangent line at $P$ is decreasing at a rate of $2$ per second;
$Q$ has $x$ -coordinate $1$ , increasing at $4$ m/s.

(a) [3 pts] Find $f(1)$ .
(b) [5 pts] Find $f''(3)$ .
(c) [12 pts] Find $f'(1)$ .
(d) [5 pts] Write an equation for the tangent line at $Q$ , and find how fast the $y$ -coordinate of $Q$ is changing at that moment.

Cevapları göster

(a)

f(1) = 5

(b)

f''(3) = −2

(c)

f'(1) = −1

(d)

y = −x + 6; the y-coordinate of Q is decreasing at 4 m/s

Tam çözüm

$P=(p,f(p))$ , $Q=(q,f(q))$ . Her an $Q$ , $P$ 'deki teğetin üstünde:
$f(q)=f(p)+f'(p)\,(q-p).\quad(\ast)$

(a) $Q$ teğetin üstünde: $f(1)=-2\cdot1+7=5$ .

(b) Teğetin eğimi $m=f'(p)$ ve $p$ zamanla değişiyor: $\frac{dm}{dt}=f''(p)\,\frac{dp}{dt}$ . $-2=f''(3)\cdot1\Rightarrow f''(3)=-2$ .

(c) $(\ast)$ her an doğru, $t$ 'ye göre türevle ( $f'(p)(q-p)$ çarpım):
$\begin{aligned}f'(q)\,\dot q&=f'(p)\,\dot p+f''(p)\,\dot p\,(q-p)\\&\quad+f'(p)(\dot q-\dot p).\end{aligned}$
$f'(p)\dot p$ terimleri sadeleşir:
$f'(q)\,\dot q=f''(p)\,\dot p\,(q-p)+f'(p)\,\dot q.$
Sayılar ( $p=3$ , $\dot p=1$ , $q=1$ , $\dot q=4$ , $f'(3)=-2$ , $f''(3)=-2$ ):
$\begin{aligned}4f'(1)&=(-2)(1)(-2)+(-2)(4)\\&=-4\ \Rightarrow\ f'(1)=-1.\end{aligned}$

(d) Teğet: $y-5=-1(x-1)$ , yani $y=-x+6$ . $Q$ 'nun $y$ -koordinatı $f(q)$ : $\frac{d}{dt}f(q)=f'(q)\,\dot q=-1\cdot4=-4$ m/s (azalıyor).

Bu soruda iki fikir birleşiyor: "eğimin değişim hızı" $=f''\cdot\dot x$ ve "teğet her an $Q$ 'dan geçer" ilişkisinin türevi.

Soru 24kolay

A particle moves along a straight line. Its position at time $t\ge0$ (in seconds) is $s(t)=t^3-9t^2+24t$ meters.

(a) [5 pts] Find the velocity $v(t)$ and the acceleration $a(t)$ .
(b) [4 pts] When is the particle at rest?
(c) [10 pts] On which time intervals is the particle speeding up, and on which is it slowing down? Justify with signs.
(d) [6 pts] Find the total distance traveled during $0\le t\le5$ .

Cevapları göster

(a)

v = 3(t−2)(t−4), a = 6(t−3)

(b)

t = 2 s and t = 4 s

(c)

speeding up on (2,3) and (4,∞); slowing down on [0,2) and (3,4)

(d)

28 m

Tam çözüm

(a) $v=s'=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)$ , $a=v'=6t-18=6(t-3)$ .

(b) $v=0\Leftrightarrow t=2$ s veya $t=4$ s.

(c) Hızlanma (speeding up) $\Leftrightarrow$ $v$ ve $a$ aynı işaretli; zıt işaretliyse yavaşlama. Sadece $a\gt 0$ 'a bakmak yanlış.

$0\le t\lt 2$ : $v\gt 0$ , $a\lt 0$ → yavaşlıyor.
$2\lt t\lt 3$ : $v\lt 0$ , $a\lt 0$ → hızlanıyor.
$3\lt t\lt 4$ : $v\lt 0$ , $a\gt 0$ → yavaşlıyor.
$t\gt 4$ : $v\gt 0$ , $a\gt 0$ → hızlanıyor.

Speeding up: $(2,3)$ ve $(4,\infty)$ . Slowing down: $[0,2)$ ve $(3,4)$ .

(d) Yön $t=2$ ve $t=4$ 'te değişiyor, aralığı orada parçala: $s(0)=0$ , $s(2)=20$ , $s(4)=16$ , $s(5)=20$ .
$|20-0|+|16-20|+|20-16|=28\ \text{m}.$
Yer değiştirme $s(5)-s(0)=20$ m; toplam yol $28$ m. İkisi aynı şey değil.

Diğer 4 ünite pakette.

Son 5 sınavın röntgeni, kalan güne göre plan, prova sınavı, günde 60 soruluk asistan. 999 TL, tek ödeme.

Tüm paketi gör