vizekit

Bu kalıp ücretsiz, kayıt yok. Paketin tamamı: 8 kalıp, hepsinin videosu, 4 ünite, prova, asistan. 999 TL, iade hakkıyla.

Kalıp 3 / 8 · MATH 119 · ücretsiz

Parçalı fonksiyon: süreklilik + türevlenebilirlik için parametre

Piecewise functions: parameters for continuity and differentiability · 9–20 puan

Tam soru · son beş kâğıdın beşinde, 14/14'ün 13'ü (2024'te iki ayrı soru, 9 + 18 puan)

Tüm paketi gör Etkileşimli hali: işaretle, asistana sor MATH 119 güz MT1 rehberi

Kalıp videosu · 7:47

Videonun metni

ODTÜ MATH 119, midterm 1. Elimizdeki son 5 MT1 kâğıdının 5'inde de bu soru var. Üstelik küçük bir şık değil. Son kâğıtta iki ayrı soru, toplam 27 puan. Ondan önceki ikisinde 20'şer puan. Geriye gidersen, elimizdeki 14 Güz sınavının 13'ünde çıkmış. ODTÜ'nün imza sorularından biri. İyi haber şu. Her seferinde aynı iki denklem kuruluyor.

Videonun sonunda 14 puanlık bir soruyu tam puanla çözeceksin. Önce soruyu nasıl tanırsın? Dört işaret var. Bir. Süslü parantezle yazılmış iki parça, içinde a, b gibi bilinmeyen sabitler. İki. "Find a and b such that f is differentiable at 0." Üç. "Does f′(0) exist?" ya da "Is f′ continuous?" Dikkat, cevap "yok" olabilir. Dört, gizli hali. |x − 2| ya da x³ sin(1/x). Parantez yok, ama yine parçalı.

Önce resme bak. Kırılma noktasında üç şey olabilir. Bir, sıçrama. Parçalar aynı yere varmıyor, fonksiyon sürekli bile değil. İki, köşe. Parçalar birleşiyor ama eğimler farklı. Sürekli, ama türevlenemez. Üç, pürüzsüz. Hem değerler hem eğimler tutuyor. İşte türevlenebilir fonksiyon bu. Birinci denklem parçaları yapıştırır. Soldan limit, sağdan limit ve f(a), üçü eşit. İkinci denklem köşeyi düzeltir. Soldan türev eşittir sağdan türev.

İki bilinmeyen, iki denklem. Sıra önemli, önce yapıştır, sonra düzelt. Tarifi bir ısınma sorusunda görelim. Sol parça x² + a, sağ parça bx + 3, kırılma x = 1'de. Birinci adım, süreklilik. f(1), eşitliği içeren sağ parçadan gelir, b + 3. Soldan limit 1 + a. Eşitle, 1 + a = b + 3. İkinci adım, kontrol. Süreksizse dur. "Not continuous, hence not differentiable." Tek satır, tam puan.

Üçüncü adım, tek yönlü türevler, tanımdan. Soldan, h → 0⁻. f(1) yerine 1 + a yaz, süreklilikten ikisi eşit. Pay, 2h + h². h'yi sadeleştir, 2 + h kalır. Limit 2. Sağdan türev. [b(1 + h) + 3 − (b + 3)] / h. Sonuç b. Dördüncü adım, eşitle. b = 2. Birinci denklemden a = 4. Bir de "f′ sürekli mi?" diye sorarsa, f′'nün limitini,

tanımdan bulduğun değerle karşılaştır. f″(0) sorulursa aynı tarif, bu sefer f′'ye. Tek yönlü fark bölümleri, yine tanımdan. Şimdi sınav formatında özgün bir soru. Beşinci soru, 14 puan, iki şık. Okuyalım. Sol parça sin²x / x, x < 0 iken. Sağ parça ax + b. (a) şıkkı, 8 puan. "Find all values of a and b such that f is differentiable at x = 0." (b) şıkkı, 6 puan. Sol tarafta f′'yü bul, sadeleştirmeden. Sonra f′, 0'da sürekli mi?

(a) şıkkı. İlk satır her zaman süreklilik. f(0), eşitliği içeren sağ parçadan, b. Soldan limit. sin²x / x = (sin x / x) · sin x. 1 · 0 = 0. Sağdan limit b. Eşitle, b = 0. Bu satır tek başına puan. Sol türev, tanımdan. f(0) artık 0. (sin²h / h − 0), ve bir kez daha bölü h. Düzenle. (sin h / h)². Limit 1. Sağ türev. (ah + 0 − 0) / h. Kalan a.

Eşitle. a = 1, b = 0, ve f′(0) = 1. Sekizde sekiz. (b) şıkkı. x < 0 iken bölüm kuralı ve zincir kuralı. "Do not simplify" dediği için öyle bırak. Limit için ikiye böl. İlki, 2 · (sin x / x) · cos x. 2'ye gider. İkincisi, (sin x / x)². 1'e gider. Soldan f′'nün limiti 2 − 1 = 1. Sağda f′ zaten a, yani yine 1.

Limit 1, tanımdan bulduğumuz f′(0) da 1. Evet, f′ 0'da sürekli. 14'te 14. Şimdi grafiğe bak. a = 1, b = 0 iken sol parça 0'a yaklaşıyor, sağ parça y = x doğrusu. Sıfırda sıçrama yok, köşe yok. İki parça aynı eğimle, eğim bir ile birleşiyor. Kısayol. f sürekliyse ve parçalar kırılmada düzgünse, tek yönlü türev, parçanın türevinin o noktadaki değeridir. Isınma sorusunda dene. (x² + a)′ = 2 (x = 1'de), sağ parçanınki b. b = 2, iki saniyede.

Ama sınav sorusunda sol parça sıfırda tanımsız. Sıfırı koyamazsın, kısayol orada çalışmaz. Puanlamada güvenli mi? Sağlama için evet. Kâğıda tanımdan yaz, okuyucu limiti görmek ister. Puanı nerede kaybediyorsun? Üç hata, bir taktik. Bir. "Parça türevleri eşit, o hâlde türev var" demek. Şu fonksiyona bak, solda x², sağda 2x + 5. İki parçanın da türevi 1'de 2. Eşit, o zaman k′(1) = 2? Yanlış.

k(1) = 1. Sağdan limit 7. Sürekli değil, yani türev yok. İki. f(a)'yı yanlış parçadan okumak. Isınmada f(1)'i sol parçadan alıp 1 + a yazmak. Eşitlik işareti sağ parçada. f(1) = b + 3. Üç. Çelişen sistemde uydurma sayı yazmak. Bazen bir nokta a = b der, öbür nokta a = b + 1. İkisi birden olamaz. Cevap, böyle a ve b yok. Bulduğun sayıları bütün denklemlere geri koy. Taktik. Bu soruya 8 ile 12 dakika. İlk satır her zaman süreklilik,

türev sorulsa bile o satır ayrı puan. Yarım dakikada özet. Süslü parantez ve sabitler gördün mü, iki denklem kur. Önce yapıştır, sonra düzelt. Süreklilik, sonra tek yönlü türevler, tanımdan. Süreksizse tek satır, türev yok. Sistem çelişirse, böyle sabit yok. Kalıbın tamamı ve benzer sorular vize.ozai.info'da. ODTÜ ile resmî bağlantımız yoktur. Sınavda görüşürüz.

Verilen: kırılma noktası $a$ olan parçalı bir fonksiyon, içinde 1–2 bilinmeyen sabit. İstenen: $f$ 'yi $a$ 'da sürekli ve/veya türevlenebilir yapan sabitler; ya da $f'(a)$ 'nın varlığı; ya da $f'$ 'nin sürekliliği. İki denklem: süreklilik + tek yönlü türevlerin eşitliği. Tek yönlü türevler tanımdan yazılır.

Nasıl tanırsın

Süslü parantezli tanım: $f(x)=\begin{cases}\dots & x\lt a\\ \dots & x\ge a\end{cases}$ ve içinde $a$ , $b$ , $k$ , $m$ gibi sabitler
Find (all values of) $a$ and $b$ such that $f$ is differentiable at $x=0$ / everywhere
If exists, find … / Does $f'(0)$ exist? → cevap "yok" olabilir
Is $f'$ continuous at …? → önce $f'(x)$ 'i iki parçada, sonra $f'(a)$ 'yı tanımdan
$|x|$ , $|x-2|$ ya da $x\sin\frac1x$ içeren tanım: gizli parçalı fonksiyon

Reçete: her yıl aynı adımlar

Süreklilik denklemi: $f(a)$ = sol limit = sağ limit. Parçalardan biri $a$ 'da tanımsızsa ( $\frac{\sin(x^2)}{x}$ ) limitini K1 aletleriyle al.

$\lim_{x\to a^-}f=\lim_{x\to a^+}f=f(a)$
≈30–40%
Süreksizse dur. " $f$ is not continuous at $a$ , hence not differentiable." Tek satır, tam puan.

$\text{not continuous}\ \Rightarrow\ \text{not differentiable}$
"var mı?" sorusunda tamamı
Tek yönlü türevler, tanımdan: $f(a)$ 'yı hangi parça veriyorsa onu kullan.

$f'_\pm(a)=\lim_{h\to0^\pm}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
≈40%; tanım satırı ayrıca puanlanır
Eşitle ve sistemi çöz. Çelişki çıkarsa yaz: "there are no such $a,b$ ".

$f'_-(a)=f'_+(a)$
≈20%
" $f'$ sürekli mi?": $x\ne a$ için $f'(x)$ 'i kurallarla yaz, $\lim_{x\to a}f'(x)$ ile tanımdan bulduğun $f'(a)$ 'yı karşılaştır.

$\lim_{x\to a}f'(x)\overset{?}{=}f'(a)$
ayrı şık, 5–6 puan
" $f''(a)$ var mı / $b$ 'yi bul": $f'$ 'yü yeni fonksiyon gibi al. $x\ne a$ 'da $f'(x)$ 'i kurallarla yaz, $f'(a)$ 'yı önceki şıktan koy, sonra yine tek yönlü fark bölümleri: $\lim_{h\to0^\pm}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}$ . Kök varsa yine eşlenik.

$f''_\pm(a)=\lim_{h\to0^\pm}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}$
§2.6 bükümü; ayrı şık, 4–6 puan

Kısayol

Parça türevi kısayolu (yalnız sağlama)

$f$ $a$ 'da sürekliyse ve her iki parça formülü $a$ 'nın civarında türevlenebilir bir fonksiyonsa, $f'_\pm(a)$ = parçaların türevlerinin $a$ 'daki değeri. $x^2+a$ ve $bx+3$ için $2$ ve $b$ : saniyede eşitlik.

Puanlamada güvenli mi?

Cevabı kontrol için. Kâğıda tanımdan yaz: ODTÜ soruları "from the definition" ruhunda ve parça $a$ 'da tanımsızsa ( $\frac{\sin x^2}{x}$ ) kısayol çalışmaz.

Süreksizlik testi önce

" $f'(a)$ var mı?" görünce önce iki tarafın değerini koy. Farklıysa iş biter.

Puanlamada güvenli mi?

Tam puan.

$|x-a|$ = gizli parçalı

$x|x-2|$ gibi bir ifadede $|x-2|$ 'yi iki parçaya aç; tek yönlü türevler $\frac{|h|}{h}=\pm1$ verir.

Puanlamada güvenli mi?

Tam puan.

Yıldan yıla değişen ne?

İstenen

tanımdan $f'(0)$ + " $f'$ sürekli mi" (2024), süreklilik + tek yanlı türevler, cevap türevlenemez (2023), süreklilik + $f'(x)$ her yerde (2022), sıkıştırmalı süreklilik için $A$ (2021); türevlenebilir yapan sabit (2019, 2015, 2013, 2011), sadece süreklilik (2017), " $f'(0)$ var mı" (2016, 2014), " $f'$ sürekli mi" (2010)

→

Adım 1–4 standart; "var mı" sorusunda önce Adım 2.

Parçanın türü

$\sqrt{1-x}$ (2023), $x^3\sin\frac{1}{x^2}$ (2022), $\frac{\sin(x^2)}{x}$ (2019), $\frac{1-\cos x}{x}$ (2013), $x^3\sin\frac1x$ (2014), polinom (2024, 2011, 2010), $|x^3|$ (2012)

→

Tanımsız parça → limit aletleri (K1). Sınırlı çarpan → sıkıştırma.

Cevap yok mu?

2015: böyle $a,b$ yok; 2016: süreksiz, türev yok

→

Sistem çelişirse çelişkiyi yaz; uydurma sayı yazan sıfır alır.

Merdiven: ısınma → sınav → twist

Basamak 1ısınma

Let $f(x)=\begin{cases}x^2+a, & x\lt1\\ bx+3, & x\ge1\end{cases}$

[10 pts] Find the values of $a$ and $b$ for which $f$ is differentiable at $x=1$ . Compute the one-sided derivatives from the definition.

Cevapları göster

(a)

a = 4, b = 2

Tam çözüm

Süreklilik: $f(1)=b+3$ (alt parça $x\ge1$ ). $\lim_{x\to1^-}f=1+a$ , $\lim_{x\to1^+}f=b+3$ . Türevlenebilir ⇒ sürekli:
$1+a=b+3\qquad(1)$
Sol türev ( $f(1)=b+3=1+a$ kullanarak):
$f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)^2+a-(1+a)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{2h+h^2}{h}=\lim_{h\to0^-}(2+h)=2$
Sağ türev:
$f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{b(1+h)+3-(b+3)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{bh}{h}=b$
Eşitle: $b=2$ . (1)'den $a=b+2=4$ .

Cevap: $a=4$ , $b=2$ (o zaman $f'(1)=2$ ).

Basamak 2sınav

Let $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin^2x}{x}, & x\lt0\\[2mm] ax+b, & x\ge0\end{cases}$

(a) [8 pts] Find all values of $a$ and $b$ such that $f$ is differentiable at $x=0$ .

(b) [6 pts] For these values, find $f'(x)$ for $x\lt0$ (do not simplify) and determine whether $f'$ is continuous at $x=0$ .

Cevapları göster

(a)

a = 1, b = 0

(b)

f′(x) = [2 sin x cos x · x − sin²x]/x² (x < 0); lim f′ = 2 − 1 = 1 = f′(0) ⇒ f′ continuous at 0

Tam çözüm

(a) [8 pts] Süreklilik: $f(0)=b$ .
$\lim_{x\to0^-}\frac{\sin^2x}{x}=\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}\cdot\sin x=1\cdot0=0$
Sağdan limit $b$ . Dolayısıyla $b=0$ .

Sol türev ( $f(0)=0$ ):
$f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{\frac{\sin^2h}{h}-0}{h}=\lim_{h\to0^-}\left(\frac{\sin h}{h}\right)^2=1$
Sağ türev: $f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{ah+0-0}{h}=a$ .

Eşitle: $a=1$ . Cevap: $a=1$ , $b=0$ , $f'(0)=1$ .

(b) [6 pts] $x\lt0$ için bölüm + zincir kuralı:
$f'(x)=\frac{2\sin x\cos x\cdot x-\sin^2x\cdot1}{x^2}$
Limit: $\frac{2x\sin x\cos x}{x^2}=2\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\cos x\to2$ ve $\frac{\sin^2x}{x^2}\to1$ . Yani
$\lim_{x\to0^-}f'(x)=2-1=1$
$x\gt0$ için $f'(x)=a=1$ , sağ limit de $1$ . $\lim_{x\to0}f'(x)=1=f'(0)$ : evet, $f'$ $x=0$ 'da sürekli.

Basamak 3twist

(a) [8 pts] Let $f(x)=\begin{cases}ax+b, & x\le0\\ x^2+a, & 0\lt x\le1\\ bx+2, & x\gt1\end{cases}$

Find all values of $a$ and $b$ for which $f$ is differentiable everywhere, or show that no such values exist.

(b) [5 pts] Let $g(x)=x\,|x|$ . Use the definition to decide whether $g'(0)$ exists, and find $g'(x)$ for all $x$ .

(c) [5 pts] Let $k(x)=\begin{cases}x^2, & x\le1\\ 2x+5, & x\gt1.\end{cases}$ Both pieces have derivative $2$ at $x=1$ . Does $k'(1)$ exist? Justify.

Cevapları göster

(a)

no such a, b (continuity at 0 needs a = b, at 1 needs a = b + 1)

(b)

g′(0) = 0; g′(x) = 2|x|

(c)

No: k is not continuous at 1 (k(1) = 1, right limit 7)

Tam çözüm

Twist: üç tuzak: cevabı "yok" olan sistem, $|x|$ ile gizli parçalı, ve türevleri eşit ama süreksiz parçalar.

(a) [8 pts] Her yerde türevlenebilir ⇒ her yerde sürekli.

$x=0$ 'da süreklilik: $f(0)=b$ , sağ limit $0+a$ ⇒ $a=b$ .
$x=0$ 'da türev: $f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{ah+b-b}{h}=a$ ; $f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{h^2+a-b}{h}=\lim_{h\to0^+}h=0$ ( $a=b$ ile). ⇒ $a=0$ , dolayısıyla $b=0$ .
$x=1$ 'de süreklilik: $f(1)=1+a$ , sağ limit $b+2$ ⇒ $1+a=b+2$ . $a=b=0$ ile $1=2$ : çelişki.

Zaten $x=0$ 'daki süreklilik ( $a=b$ ) ile $x=1$ 'deki süreklilik ( $a=b+1$ ) birlikte sağlanamaz. No such $a,b$ exist.

(b) [5 pts] $g(0)=0$ .
$g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}|h|=0$
Var ve $0$ . $x\gt0$ : $g=x^2$ , $g'=2x$ . $x\lt0$ : $g=-x^2$ , $g'=-2x$ . Hepsi tek formülde: $g'(x)=2|x|$ (her $x$ için, $x=0$ dahil).

(c) [5 pts] $k(1)=1$ , ama $\lim_{x\to1^+}k(x)=2+5=7\ne1$ . $k$ $x=1$ 'de sürekli değil ⇒ türevlenemez: $k'(1)$ does not exist. (Tanımdan: $\frac{k(1+h)-k(1)}{h}=\frac{6+2h}{h}\to+\infty$ ( $h\to0^+$ ).) Parçaların türevlerinin eşit olması yetmez; önce süreklilik.

Bu kalıp hangi sınavda nasıl geldi

2024-25 Güz · S5
18p, iki şık: limit tanımıyla $f'(0)$ , sonra " $f'$ $0$ 'da sürekli mi?". Aynı kâğıtta 9 puanlık ikinci bir " $f'(0)$ var mı" sorusu daha.
2023-24 Güz · S3
20p: önce $0$ 'da süreklilik, sonra tek yanlı türevler tanımdan; bir parça köklü ( $\sqrt{1-x}$ tipi): fark bölümünde eşlenik. Cevap: türevlenemez.
2022-23 Güz · S5
20p: $x^3\sin\frac{1}{x^2}$ tipi parça; $0$ 'da süreklilik, $f'(0)$ tanımdan sıkıştırmayla, $x\ne0$ 'da kurallarla.
2021-22 Güz · S3
12p, sadece süreklilik: bir parçada sınırlı $\cos\frac{1}{x-1}$ çarpanı (sıkıştırma), $x=1$ 'de sürekli yapan $A$ 'yı bul.
2019-20 Güz · S7
6p. Solda $\frac{\sin(x^2)}{x}$ , sağda $2ax$ : $x=0$ 'da türevlenebilir olsun. Sol türev tanımdan: $\frac{\sin(h^2)}{h^2}\to1$ .
2017-18 Güz · S3
10p, sadece süreklilik: solda $\frac{\sin(ax)}{x}+\cos x$ tipi bir parça; $a$ 'yı sol limitten bul.
2016-17 Güz · S3
10p. " $f'(0)$ var mı?" Cevap tek satır: $f$ $0$ 'da sürekli değil ⇒ türevlenemez. Türevi hesaplamaya giren zaman kaybetti.
2015-16 Güz · S4
14p, üç parça: $f'(0)$ var olacak $a,b$ isteniyor ve cevap böyle $a,b$ yok. Denklemler çelişiyor.
2014-15 Güz · S2
(b) 7p: $x^3\sin(1/x)$ içeren bir parça, $f'(0)$ tanımdan + sıkıştırma.
2010-11 Güz · S3
18p, üç şık: $f'(x)$ 'i her yerde yaz, $f'(1)$ 'i tanımdan bul, $f'$ sürekli mi?

Bu yıl ne gelebilir:

Tahmin: tam soru, 9–20 puan; büyük ihtimalle iki şık. Son beş kâğıdın beşinde geldi. Son yılların şekli: "Use the limit definition to find $f'(0)$ " + "Is $f'$ continuous at $0$ ?" (2024), köklü bir parçada eşlenikli tek yanlı türev (2023), salınan parçada sıkıştırmalı $f'(0)$ (2022). §2.6 kapsamda olduğu için yeni bir büküm adayı: " $f''(0)$ var olsun, $b$ 'yi bul" (recipe Adım 6). Yedek: "böyle sabit yok" (2015).

Puanı nerede kaybedersin

2015'te cevap "yok"tu: bir denklemi çözüp diğerini kontrol etmeyen " $a=\dots, b=\dots$ " yazdı ve puanın çoğunu kaybetti.
2016'da fonksiyon $0$ 'da süreksizdi; türev limitini hesaplamaya çalışan 10 dakika harcadı, tek satırlık cevabı görmedi.
2019'da sol parça $0$ 'da tanımsızdı: parça türevini $x=0$ 'a koymaya çalışan $\frac00$ 'a takıldı; tanımdan gitmek gerekiyordu.
Parça türevlerini eşitleyip sürekliliği atlamak. Parçaların türevleri eşit olsa bile süreksizse $f'(a)$ yok (2019'un D/Y sorusu bunu sordu).
Tek yönlü türevde $f(a)$ yerine yanlış parçanın değerini koymak. $f(a)$ 'yı $x=a$ 'yı içeren parça verir.
$\frac{\sin(h^2)}{h}$ 'yı tekrar $h$ 'ye bölmeyi unutmak: türev tanımı $\frac{f(h)-f(0)}{h}$ .
Çelişkili sistemde " $a=0$ , $b=0$ " yazıp bitirmek. Bütün denklemleri kontrol et.
" $f'$ continuous?" sorusunda $f'(a)$ 'yı parça türevinden okumak; tanımdan bul.

Sınav anı taktiği

9–20 puan (2024'te iki soru, toplam 27): 8–12 dk soru başına.
İlk satır her zaman süreklilik denklemi. Türevlenebilirlik sorulsa bile bu satır ayrı puan.
Tek yönlü türevleri iki ayrı satırda, $\lim_{h\to0^-}$ ve $\lim_{h\to0^+}$ ile yaz. Okuyucu tanımı görmek ister.
Sistem çözüldükten sonra bulunan değerleri bütün denklemlere geri koy; 30 saniyelik kontrol, "no such a, b" tuzağını yakalar.

Bu kalıbın konusu, baştan anlatımıyla: Ünite 3 (ücretsiz)

Diğer 7 kalıp pakette.

Hepsi bu sırayla: video, tanı, reçete, merdiven, çıkmışlar, taktik. 999 TL, tek ödeme.

Tüm paketi gör