vizekit

Bu ünite ücretsiz, kayıt yok. Paketin tamamı: 4 ünite, prova, asistan. 999 TL, iade hakkıyla.

Ünite 3 · MATH 119 · ücretsiz

Türev: Teğet Doğrusu, Tanım, Türev Kuralları ve Zincir Kuralı

Adams 10e §2.1–2.4 · The Derivative: Tangent Lines, Definition, Differentiation Rules and the Chain Rule

Bu ünite 2021+ ODTÜ MT1'lerinde en çok puan taşıyan blok (14 kâğıdın tamamında Ünite 4 ile başa baş). 14 Güz MT1'de (2010-11 → 2024-25, hepsi çözümlü): parçalı fonksiyonda parametre / tanımdan türevlenebilirlik son beş kâğıdın (2019, 2021–2024) beşinde, 14'ün 13'ünde; 2024'te iki ayrı soru (9 + 18 puan: "limit tanımıyla $f'(0)$ ", " $f'$ $0$ 'da sürekli mi"), 2023'te köklü parçada tek yanlı türev, 2022'de $x^3\sin\frac1{x^2}$ . Limiti türev tanımı olarak tanıma son beşin dördünde (2021'den beri 6–12 puan). Kurallar + zincir, değer tablosu/kutu son beşin üçünde (2023, 2024'te kutuya cevaplı tablo, 8–9 puan). Doğru/Yanlış + karşı örnek 2019'dan beri gelmedi. Eski MT1'ler Kasım'daydı ve Bölüm 3'ü de kapsıyordu; 2026 MT1 §2.9'da bitiyor. 2021+ kâğıtlarda kapsam içi puanların ~%30'u bu blokta. En güçlü örnekler: w3 (parametre + $f'$ sürekli mi) ve w8 (eşlenikli tek yanlı türev, $f'$ sürekliliği, $f''(0)$ ).

Bu ünite sınavda şu kalıp olarak gelir: Parçalı fonksiyon: süreklilik + türevlenebilirlik için parametre · 5/5 · 13/14 →

Tüm paketi gör Etkileşimli hali: işaretle, asistana sor MATH 119 güz MT1 rehberi

Konu anlatımı videosu · 10:28

Videonun metni

ODTÜ MATH 119, midterm 1. Son 4 Güz kâğıdında kapsam içi puanların yaklaşık %30'u bu üniteden. Üç soru tipi dönüp duruyor. Parçalı fonksiyonda a ve b, limiti türev diye okumak, bir de kurallarla zincir. Parçalı fonksiyon bulabildiğimiz 14 kâğıdın 13'ünde. Son kâğıtta iki ayrı soru, toplam 27 puan.

Derse girmedin mi? Sorun yok. Teğetten zincir kurala kadar sıfırdan kuruyoruz, sonra 16 puanlık bir soruyu tam puanla çözüyoruz. Önce fikir. Eğri üstünde bir P noktası, biraz ötede bir Q noktası. İkisinden geçen doğruya kesen denir. Kesenin eğimi: (f(a+h) − f(a)) / h. Adams buna Newton quotient der. Şimdi Q'yu P'ye yaklaştır, yani h sıfıra gitsin. Kesen döner ve teğete oturur.

Teğetin eğimi bu limit. Doğru da nokta + eğim: y = f(a) + m(x − a). Normal doğru teğete diktir. Eğimi −1/m. Örnek. f(x) = √(3x+1), a = 5. Nokta f(5) = 4. Eğim 3/8, birazdan tanımdan çıkaracağız. Teğet: y = 4 + (3/8)(x − 5). Normal: eğimi −8/3. Normale sekiz bölü üç yazan çok. Ters çevir, işareti de değiştir. Şimdi tanım. Bu limit varsa, f x noktasında türevlenebilir.

Adams'ın gösterimiyle hepsi aynı şey, f üssü x ya da de y bölü de x. Soruda using the definition yazıyorsa kural yazmak puan getirmez. Bu limiti açacaksın. Paydaki h'yi çıkarmanın üç yolu var. Polinomsa aç, kesirse payda eşitle, kökse eşlenikle çarp. Örneğimize dönelim. Kök üç x artı üç h artı bir, eksi kök üç x artı bir, bölü h. Eşlenikle çarp. Paydaki kökler kare olur, geriye sadece üç h kalır.

h'ler sadeleşti. Kalan, üç bölü iki kökün toplamı. Ancak şimdi h → 0. f'(x) = 3 / (2√(3x+1)). f'(5) = 3/8, teğetin eğimi buydu. Sıfır bölü sıfır hâlâ duruyorsa iş bitmemiştir. h, son satırdan önce gitmeli. ODTÜ'nün sevdiği hile. Soru limit soruyor, aslında türev soruyor. İki kalıbı tanı. Örnek. (x¹¹⁹ − 1) / (x − 1), x → 1. 1¹¹⁹ zaten 1. Yani bu, x¹¹⁹'un 1'deki türevi. Cevap 119.

"Find f and a": (⁵√(32+h) − 2) / h. f(x) = ⁵√x, a = 32. Kontrol: ⁵√32 = 2. Değer (1/5)·32^(−4/5) = 1/80. Seviye atla. f'(2) = 5, limit (f(2+3h) − f(2−h)) / h. f(2)'yi ekle, çıkar. İlk parça 3f'(2), ikinci parça f'(2). 4 · 5 = 20. İçteki katsayıyı unutan beş ya da on yazar. Teorem. Türevlenebilirse süreklidir. İspat tek satır, farkı h ile çarp, böl.

Sınavda işine yarayan ters çevrilmiş hali. Sürekli değilse türevlenemez. Tek satır, tam puan. Tersi yanlış. Mutlak x sürekli ama sıfırda köşe var. Sağdan eğim bir, soldan eksi bir. x^(2/3), sivri uç. Bölüm sağdan +∞, soldan −∞. Teğet yok. x^(1/3) farklı. Bölüm iki yandan da +∞. Türev yok ama dikey teğet var: x = 0. Şimdi ODTÜ'nün imza sorusu. Parçalı fonksiyon,

a ve b'yi öyle bul ki f birde türevlenebilsin. Reçete üç adım. Bir: süreklilik. Sol limit, sağ limit ve f(1), üçü eşit. İki: tek taraflı türevler, tanımdan. f(1) hangi satırdan geliyorsa onu kullan. Burada sol türev 3 + a, sağ türev 2b. Üç: eşitle. İki denklem, iki bilinmeyen: a = 3, b = 3. Grafik 1'de kırılmadan geçiyor. Sıra önemli, önce süreklilik. İki parçanın eğimi aynı olsa da kopuksa türev yoktur.

Soru if possible diyorsa cevap yok da olabilir. Süreklilik a'yı kilitler, b türevi değiştiremiyorsa böyle a, b yoktur. Kurallar. Toplamın türevi türevlerin toplamı. Kuvvet kuralı, x üzeri r'nin türevi r çarpı x üzeri r eksi bir. Çarpım: f'g + fg'. Bölüm: (f'g − fg') / g². Kök ve kesiri önce kuvvete çevir. ∛(x²) = x^(2/3).

Örnek. y = x^(2/3) (x² − 4x). Çarpım kuralı. Birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi. Soruda DO NOT SIMPLIFY yazıyorsa burada dur. Puan bu satıra, sadeleştirirken işaret hatası yaparsan bu puan da yanar. Noktada değer isteniyorsa türevi yazar yazmaz sayıyı koy. Yatay teğet, y üssü sıfır. Paralel teğet, y üssü doğrunun eğimi.

Zincir kuralı. Dışın türevi, içi aynen bırak, çarpı içinin türevi. Örnek. (x² + 1)⁵. 5(x² + 1)⁴ · 2x. Formülsüz f de olur. f(x²)'nin türevi 2x · f'(x²). f'(x) değil. ODTÜ bunu tabloyla soruyor, cevap kutuya. u(x) = f(g(x)). u'(1) kaç? Bir: iç değer sayıyla. g(1) = 2. İki: dış türev o sayıda, f'(2) = 5. Üç: çarp. 5 · 4 = 20.

İç değeri hesaplamadan f üssüne dokunma. Tablo sorusunun bütün puanı bu sırada. Şimdi sınav tarzı özgün bir soru. On altı puan, üç şık. Ünitenin en zor hali, ama adımlar hep aynı. Solda √(1 − 2x), sağda 1 + ax + bx². L'Hôpital yasak, tanımdan gideceğiz. İstenenler: f'(0) var olsun diye a, f' 0'da sürekli mi, ve f''(0) için b. (a) şıkkı, 7 puan. Önce süreklilik. f(0) = 1, iki yandan limit de 1.

Her a ve b için sürekli. Sol türev, tanımdan. Kök bir eksi iki h, eksi bir, bölü h. Kök var, eşlenikle çarp. Pay −2h olur, h sadeleşir. −2/2 = −1. Sağ türev daha kolay. a h artı b h kare, bölü h. h sıfıra giderken a. Eşitle. a = −1, f'(0) = −1. b şimdilik serbest. (b) şıkkı, 4 puan. 0 dışında kural serbest. Solda −1/√(1 − 2x), sağda −1 + 2bx.

İki yandan limit, ikisi de −1, f'(0)'a eşit. Evet, f' 0'da sürekli. (c) şıkkı, 5 puan. f''(0), f''nün türevi. Yine tanımdan, f'(0) yerine −1 koy. Sol taraf. Aynı eşlenik hilesi, sonuç yine eksi bir. Sağ taraf: 2bh/h = 2b. Eşitle, b = −1/2. 16'da 16. Her basamakta aynı üç hamle: süreklilik, tek yanlı fark bölümü, eşitle. Şimdi puan kaybettiren üç tuzak.

Bir: sürekliliği atlamak. Sol parça 4x − 2, sağ parça x² + 2x. Eğimler 1'de 4 ve 4. Ama sol limit 2, sağ limit 3. Kopuk, o yüzden türev yok. İki. Using the definition yazarken zincir kuralı. Cevap doğru, puan sıfıra yakın. Üç: zincirde dış türevi yanlış yerde almak. f'(1) · g'(1) = −8. Yanlış. Doğrusu f'(2) ile, 20. 30 saniyede özet. Teğet: nokta + eğim. Normalin eğimi −1/eğim.

Using the definition görürsen Newton bölümü, h sadeleşsin. Limitte bir fonksiyonun a'daki değeri çıkarılıyorsa, o bir türev. Parçalıda önce süreklilik, sonra tek yanlı türevler. Zincirde önce iç değer, sayıyla. Bu ünitenin tamamı, 8 çözümlü örnek ve 25 soruyla, vize.ozai.info'da ücretsiz. ODTÜ ile resmî bağlantımız yoktur. Sınavda görüşürüz.

1 · Teğet doğrusu: kesenin limiti (§2.1)

Sınavda nasıl gelir: "Find equations of the tangent and normal lines to $y=f(x)$ at …" (genelde 4–6 puanlık bir şık).

Basit hali. $P=(x_0,f(x_0))$ ve yakın bir nokta $Q=(x_0+h,f(x_0+h))$ . $PQ$ kesen doğrusunun (secant) eğimi Adams'ın Newton quotient dediği şey:
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$h\to0$ iken bu eğim bir $m$ sayısına gidiyorsa, $P$ 'deki teğet doğrusu (tangent line):
$y=f(x_0)+m\,(x-x_0)$

Normal doğru (normal) teğete diktir: eğimi $-\dfrac1m$ ( $m\ne0$ ). Teğet yatay ( $m=0$ ) ise normal dikeydir: $x=x_0$ .

Sınav seviyesi: iki uç durum (Adams böyle tanımlar).

$f$ , $x_0$ 'da sürekli ve Newton quotient $+\infty$ 'a ya da $-\infty$ 'a gidiyor: dikey teğet $x=x_0$ . Örnek: $y=x^{1/3}$ , $\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}\to+\infty$ ⇒ teğet $x=0$ (y-ekseni).
Sağdan $+\infty$ , soldan $-\infty$ (sivri uç, cusp) ya da sağ/sol limitler farklı sayılar (köşe): teğet yok. Örnekler: $y=x^{2/3}$ ( $h^{-1/3}$ ), $y=|x|$ ( $\frac{|h|}{h}=\operatorname{sgn}h$ ).

Klasik twist: "Eğrinin üstünde olmayan bir noktadan geçen teğetleri bul." Teğet noktasını $a$ diye bilinmeyen bırak, $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ yaz, verilen noktayı koy, $a$ 'yı çöz.

Akılda kalsın: teğet = nokta + eğim. Nokta $f(x_0)$ 'dan, eğim limitten. Normal = eksi bir bölü eğim.

2 · Türevin tanımı: üç cebir hamlesi (§2.2)

Sınavda nasıl gelir: "Using the definition of the derivative, find $f'(x)$ " ya da "…find $f'(0)$ if it exists". Bu ifadeyi görünce kural kullanmak puan getirmez.

Tanım.
$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Limit varsa $f$ , $x$ 'te differentiable. Tanım kümesinde olup türevin olmadığı (uç nokta olmayan) noktalara Adams singular point der.

Hep aynı plan: (1) $f(x+h)$ 'yi yaz, (2) $f(x)$ 'i çıkar, (3) payda $h$ çarpanı oluştur, (4) $h$ 'yi sadeleştir, (5) $h=0$ koy.

Payda $h$ 'yi oluşturmanın sadece üç yolu var:

fonksiyon tipi	hamle	örnek sonuç
polinom	aç, $h$ parantezine al	$(x^2)'=2x$
kesir $\frac{1}{g}$	payda eşitle	$\big(\tfrac{1}{x}\big)'=-\tfrac{1}{x^2}$
kök $\sqrt{g}$	eşlenikle (conjugate) çarp	$(\sqrt x)'=\tfrac{1}{2\sqrt x}$

Kolay: $f(x)=x^2-5x$ ⇒ $\frac{(x+h)^2-5(x+h)-x^2+5x}{h}=2x+h-5\to 2x-5$ .

Tipik: $f(x)=\sqrt{2x+1}$ :
$\frac{\sqrt{2x+2h+1}-\sqrt{2x+1}}{h}=\frac{2}{\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}}\to\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Sınav twisti: kök + kesir birlikte ( $\frac{1}{\sqrt x}$ ): önce payda eşitle, sonra eşlenik. Sırayı karıştırma.

Akılda kalsın: tanım sorusunda son satırdan önce $h$ mutlaka sadeleşmiş olmalı. $\frac00$ duruyorsa iş bitmemiştir.

3 · Leibniz notasyonu: aynı türev, farklı yazılış (§2.2)

Sınavda nasıl gelir: soru $\frac{dy}{dx}\Big|_{x=1}$ , $\frac{d}{dx}f(x)$ ya da $D_xf$ yazar. Hepsi aynı şey; panik yapma.

$y=f(x)$ ise:
$y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)$
Bir noktada değer:
$f'(a)=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a}=\frac{d}{dx}f(x)\bigg|_{x=a}$

Neden böyle yazılır: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ ise $\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Yani $\frac{dy}{dx}$ bir limittir, iki sayının bölümü değil. Değişken ismi değişebilir: $V=\frac43\pi r^3$ için $\frac{dV}{dr}=4\pi r^2$ , $s=t^3-6t$ için $\frac{ds}{dt}=3t^2-6$ .

Twist: $\frac{d}{dx}f(x^2)$ ile $f'(x^2)$ farklıdır. İlki " $f(x^2)$ 'nin $x$ 'e göre türevi" $=2x\,f'(x^2)$ ; ikincisi " $f'$ 'yi $x^2$ 'de değerlendir". Bu ayrımı 8. bölümde zincir kuralı netleştirecek.

Akılda kalsın: " $\big|_{x=a}$ " = önce türev al, sonra $a$ 'yı koy. Tersi $0$ verir.

4 · Kılık değiştirmiş türev: limiti $f'(a)$ diye oku (§2.2)

Sınavda nasıl gelir: ODTÜ'nün favorisi (14 kâğıdın 11'inde, son beşin dördünde). Ya "Evaluate the limit" (L'Hôpital yasak), ya da "The limit represents the derivative of some function $f$ at some number $a$ . Find $f$ and $a$ ."

Kalıp 1, $h$ 'li: $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$ .
$\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[5]{32+h}-2}{h}:\quad f(x)=\sqrt[5]{x},\ a=32\ \Rightarrow\ \tfrac15\,32^{-4/5}=\tfrac1{80}$

Kalıp 2, $x\to a$ 'lı: $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ .
$\lim_{x\to1}\frac{x^{119}-1}{x-1}=(x^{119})'\big|_{x=1}=119$

Seviye atla: payda eksik ya da fazla.

Paydayı böl: $\displaystyle\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^3-1}=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\cdot\frac{1}{x^2+x+1}\to\frac14\cdot\frac13$ .
İçeride katsayı varsa ekle-çıkar: $f'(2)=5$ ise
$\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=3\,\frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\frac{f(2-h)-f(2)}{-h}\to 3\cdot5+5=20.$

"Find $f$ and $a$ " sorusunda cevap tek değil: $f(x)=\sqrt[5]{x},\ a=32$ de doğru, $f(x)=\sqrt[5]{32+x},\ a=0$ da. Birini yaz, $f(a)$ 'nın limitteki sabitle eşleştiğini göster.

Akılda kalsın: limitte " $\text{bir şey}(x)-\text{sabit}$ " bölü " $x-a$ " görürsen, sabit = o şeyin $a$ 'daki değeri mi diye bak. Eşitse türevdir.

5 · Türevlenebilir ⇒ sürekli (tersi yanlış) ve karşı örnek dükkânı (§2.2–2.3)

Sınavda nasıl gelir: iki şekilde. (i) Parçalı fonksiyonda "sürekli değil, o hâlde türevli de değil" tek satırı (ODTÜ 2016 tam puanı böyle verdi). (ii) Doğru/Yanlış + "give a counterexample" (2018, 2019).

Teorem (Adams §2.3, Theorem 1). $f$ , $x$ 'te differentiable ise $x$ 'te süreklidir. İspat iki satır:
$\begin{aligned}\lim_{h\to0}\big(f(x+h)-f(x)\big)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h\\&=f'(x)\cdot0=0.\end{aligned}$
Kontrapozitif (sınavın sevdiği): süreksiz ⇒ türevsiz.

Karşı örnek dükkânı (hepsi $x=0$ 'da):

iddia	neden yanlış	örnek
sürekli ⇒ türevli	köşe	$\lvert x\rvert$
sürekli ⇒ türevli	sivri uç (cusp)	$x^{2/3}$
türevsiz ⇒ teğet yok	dikey teğet var	$x^{1/3}$
$f+g$ türevli ⇒ ikisi de türevli		$\lvert x\rvert+(-\lvert x\rvert)$
$f$ türevli, $g$ değil ⇒ $fg$ değil		$x\cdot\lvert x\rvert=x\lvert x\rvert$ türevli
$\lvert f\rvert$ türevli ⇒ $f$ türevli		$f=1\ (x\ge0),\ -1\ (x\lt0)$

Doğru olan bir tane: $f$ türevli, $g$ türevsiz ⇒ $f+g$ türevsiz. Çünkü $f+g$ türevli olsaydı $g=(f+g)-f$ de türevli olurdu.

$|u|$ 'nun türevi (Adams'ın $\operatorname{sgn}$ 'i): $\frac{d}{dx}|x|=\operatorname{sgn}x=\frac{x}{|x|}$ ( $x\ne0$ ). $|g(x)|$ , $g(a)=0$ ve $g'(a)\neq0$ olan yerde köşe yapar; $g'(a)=0$ ise türevli olabilir: $x|x|$ ve $(x-1)|x-1|$ türevli, $x|x-1|$ ise $x=1$ 'de türevsiz.

Akılda kalsın: "Doğru" diyorsan ispat, "Yanlış" diyorsan somut fonksiyon + iki satır kontrol.

6 · Parçalı fonksiyonda $a,b$: ODTÜ'nün imza sorusu (§1.4 + §2.2)

Sınavda nasıl gelir: 14 kâğıdın 13'ünde, son beşin beşinde. "Find all values of $a$ and $b$ such that $f$ is differentiable at $x=c$ " ya da "If possible, determine $a,b$ so that $f'(0)$ exists. If not possible, explain why." 6–20 puan.

Reçete (kırılma noktası $c$ ):

Süreklilik (1 denklem): $\lim_{x\to c^-}f=\lim_{x\to c^+}f=f(c)$ . $f(c)$ ayrı tanımlıysa ( $x=c$ satırı) onu da eşitle.
Tek taraflı türevler, tanımdan (2. denklem):
$f'_{\pm}(c)=\lim_{h\to0^{\pm}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
Dikkat: $f(c)$ hangi satırdan geliyorsa onu kullan.
$f'_-(c)=f'_+(c)$ yaz, çöz.

Kolay: $f=x^3+ax$ ( $x\le1$ ), $bx^2+1$ ( $x\gt1$ ): süreklilik $1+a=b+1$ , türevler $3+a=2b$ ⇒ $a=b=3$ .

Tipik (ODTÜ 2019 tipi): bir parça $\frac{\sin(kx^2)}{x}$ gibiyse tek taraflı türev bir limit sorusuna döner: $\frac{\sin(kh^2)/h-0}{h}=\frac{\sin(kh^2)}{h^2}\to k$ . Trig türevine gerek yok, $\frac{\sin u}{u}\to1$ yeter.

Sınav twistleri (puanı bunlar ayırır):

"No such $a,b$ ": süreklilik $a$ 'yı sabitler ama iki türev $b$ 'den bağımsız çıkar ve eşit değildir. Cevap: "mümkün değil, çünkü $f'_-(0)=2\neq0=f'_+(0)$ her $b$ için."
Süreksizse tek satır: $\lim_{x\to c^-}f\neq f(c)$ ⇒ "not continuous, hence not differentiable". Parçaların eğimleri eşit olsa bile!
"Is $f'$ continuous at $c$ ?" $x\neq c$ için formül-türevi yaz, iki yandan limitini al, $f'(c)$ ile karşılaştır.

Kısayol uyarısı: süreklilik sağlandıktan sonra ve parçalar $c$ civarında türevli formüllerse, $f'_\pm(c)$ = ilgili parçanın formül-türevinin $c$ 'deki değeri. Sınavda yine de "using one-sided derivatives" istendiyse limitleri yaz.

Akılda kalsın: önce süreklilik, sonra türev. Sırayı ters yaparsan iki parça "aynı eğimli ama kopuk" çıkabilir ve yanlış "evet" dersin.

7 · Türev kuralları ve "DO NOT SIMPLIFY" (§2.3)

Sınavda nasıl gelir: "Compute the derivatives. DO NOT SIMPLIFY!" 2–3 şık × 5–7 puan. Puan, doğru kuralı doğru yerde kullanmana verilir; sadeleştirme puan getirmez ama hata riski getirir.

Kurallar ( $f,g$ differentiable, $C$ sabit):
$\begin{gathered}(f\pm g)'=f'\pm g',\qquad (Cf)'=Cf'\\(fg)'=f'g+fg'\\\Big(\frac fg\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad \Big(\frac1g\Big)'=-\frac{g'}{g^2}\\\frac{d}{dx}x^r=r\,x^{r-1}\quad\text{(General Power Rule)}\end{gathered}$

Kolay: kök ve kesirleri önce kuvvet yap: $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ , $\frac{4}{x^3}=4x^{-3}$ . Sonra kuvvet kuralı.

Tipik: kesirli kuvvetli çarpım:
$y=x^{2/3}(x^2-4x)\ \Rightarrow\ y'=\tfrac23x^{-1/3}(x^2-4x)+x^{2/3}(2x-4)$
Burada dur. "Do not simplify" bu satırı istiyor.

Sınav twisti: bir noktada değer. $\frac{dy}{dx}\big|_{x=4}$ isteniyorsa türevi yazar yazmaz sayıyı koy, sadeleştirmeyle uğraşma (Adams da böyle önerir). Ardından genelde "horizontal tangent nerede" ( $y'=0$ ) ya da "tangent parallel to $y=mx+n$ " ( $y'=m$ ) gelir.

Üç çarpım: $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$ .

Akılda kalsın: bölüm kuralında payın başında $f'g$ var, eksi işareti ortada, payda $g^2$ . "Aşağı-çarpı-yukarı'nın türevi" ezberi yerine formülü yaz, tek tek doldur.

8 · Zincir kuralı: dıştan içe, iç değeri sayıyla (§2.4)

Sınavda nasıl gelir: ya "DO NOT SIMPLIFY" türev listesinde iç içe fonksiyon, ya da tablo sorusu (2018: $f,f',g,g'$ tablosu + cevap kutuları, "show your work gerekmez").

Kural. $y=f(u)$ , $u=g(x)$ :
$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x),\qquad \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}$
Söz hâli: dışın türevi, içi aynen bırakılarak × içinin türevi.

Kolay: $\frac{d}{dx}(x^2+1)^{5}=5(x^2+1)^4\cdot2x$ . $\ \frac{d}{dx}\sqrt{x^3+1}=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}$ .

Tipik, iç içe:
$\frac{d}{dx}\sqrt{x+\sqrt x}=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt x}}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt x}\Big)$
Mutlak değer: $\frac{d}{dx}|u|=\operatorname{sgn}(u)\,u'$ , $u=0$ olan yerde tanımsız.

Soyut $f$ (formül yok): $\frac{d}{dx}f(3x^2)=6x\,f'(3x^2)$ , $\ \frac{d}{dx}f(f(x))=f'(f(x))\,f'(x)$ .

Sınav twisti: tablo. $u(x)=f(g(x))$ , $u'(1)$ = ?

İç değer sayıyla: $g(1)=2$ .
Dış türev o sayıda: $f'(2)$ .
Çarp: $u'(1)=f'(2)\,g'(1)$ .

Ters yön: " $y=3x-1$ is tangent to $y=f(x)$ at $x=1$ " ⇒ $f(1)=2$ , $f'(1)=3$ . Teğet doğrusu sana iki sayı verir.

Akılda kalsın: $f'(g(1))$ yaz, $f'(1)$ değil. İç değeri hesaplamadan $f'$ 'ye dokunma.

Formül kartı

Newton quotient / definition of the derivative: $\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\end{aligned}$
One-sided derivatives: $\begin{gathered}f'_{\pm}(c)=\lim_{h\to0^{\pm}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\\f'(c)\text{ exists}\iff f'_-(c)=f'_+(c)\end{gathered}$
Tangent and normal lines at x = a: $\begin{aligned}\text{tangent: }y&=f(a)+f'(a)(x-a)\\\text{normal: }y&=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\end{aligned}$
Vertical tangent (f continuous at a): $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\infty\ \text{or}\ -\infty\ \Rightarrow\ x=a$
Leibniz notation: $f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x),\quad f'(a)=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a}$
Disguised derivative: $\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}{h}=(p-q)\,f'(a)$
Differentiable ⇒ continuous: $f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h\to f'(x)\cdot0=0$
Sum, constant multiple, General Power Rule: $(f\pm g)'=f'\pm g',\quad (Cf)'=Cf',\quad \frac{d}{dx}x^r=r\,x^{r-1}$
Product, quotient, reciprocal: $\begin{gathered}(fg)'=f'g+fg'\\\Big(\frac fg\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\quad\Big(\frac1g\Big)'=-\frac{g'}{g^2}\end{gathered}$
Chain Rule: $\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\\\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}\end{gathered}$
Absolute value (signum): $\frac{d}{dx}|x|=\operatorname{sgn}x=\frac{x}{|x|},\quad \frac{d}{dx}|u|=\operatorname{sgn}(u)\,u'\ \ (u\ne0)$
Common roots: $\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt x},\quad \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}x^{\frac1n-1}$

Puan kaybettiren tuzaklar

Parçalı fonksiyonda sürekliliği atlamak. ✗ "Sağ parça $x^2+2x$ 'in türevi $1$ 'de $4$ , sol parça $4x-2$ 'nin türevi $4$ ⇒ $f'(1)=4$ ." ✓ "Önce $\lim_{x\to1^-}f$ , $\lim_{x\to1^+}f$ ve $f(1)$ eşit mi? Değilse: not continuous ⇒ not differentiable." Eğimler eşit olsa da kopuk fonksiyonun türevi yoktur.
$x=c$ satırını görmemek. $f(0)$ ayrı bir satırda verilmişse süreklilik kontrolü üç sayıdır. ✗ " $\lim_{x\to0^-}f=1=\lim_{x\to0^+}f$ ⇒ sürekli, şimdi türevlere bakalım." ✓ " $f(0)=3\neq1$ ⇒ not continuous at $0$ ⇒ not differentiable." Tek taraflı türevde de $f(0)$ olarak o satırdaki değeri yaz.
"Using the definition" denince kural kullanmak. ✗ " $f(x)=\sqrt{3x+1}$ ⇒ $f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ (chain rule)." Cevap doğru ama puan sıfıra yakın. ✓ Newton quotient'i yaz, eşlenikle çarp, $h$ 'yi sadeleştir, limiti al.
Zincir kuralında $f'$ 'yi yanlış noktada değerlendirmek. ✗ $u=f(g(x))$ ⇒ $u'(1)=f'(1)\,g'(1)$ . ✓ $u'(1)=f'(g(1))\,g'(1)=f'(2)\,g'(1)$ . Aynı hata soyut hâlde: ✗ $\frac{d}{dx}f(x^2)=f'(x)\cdot2x$ . ✓ $f'(x^2)\cdot2x$ .
Kılık değiştirmiş türevde iç katsayıyı unutmak. ✗ $\lim_{h\to0}\frac{f(2+3h)-f(2)}{h}=f'(2)$ . ✓ $=3\cdot\lim\frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}=3f'(2)$ .
Normal eğimi. ✗ teğet eğimi $\frac38$ ⇒ normal eğimi $\frac83$ ya da $-\frac38$ . ✓ $-\frac{1}{3/8}=-\frac83$ . Teğet yataysa ✗ "normal eğimi $\infty$ "; ✓ normal doğru $x=a$ .
"DO NOT SIMPLIFY" varken sadeleştirmeye girişmek. Puan kural satırına verilir; açıp toplarken yapılan işaret hatası doğru satırın puanını da yakar. ✓ Kuralı uygula, dur. Bir noktadaki değer istendiyse hemen sayıyı koy.
Mutlak değerin türevini "içeri sokmak". ✗ $\frac{d}{dx}|x^2-4x+3|=|2x-4|$ . ✓ $\operatorname{sgn}(x^2-4x+3)\,(2x-4)$ , $x=1,3$ 'te tanımsız (köşe).
Doğru/Yanlış'ta "Yanlış" deyip genel laf etmek. ✗ "Yanlış, çünkü her zaman olmaz." ✓ "Yanlış: $f(x)=x$ , $g(x)=|x|$ ; $g$ $0$ 'da türevsiz ama $fg=x|x|$ için $\frac{h|h|}{h}=|h|\to0$ , yani $(fg)'(0)=0$ var."

Çözümlü örnekler

Örnek 1Tangent and normal lines from the definition

Let $f(x)=\sqrt{3x+1}$ .

(a) [8 pts] Using the definition of the derivative, find $f'(x)$ .
(b) [4 pts] Find an equation of the tangent line to $y=f(x)$ at $x=5$ .
(c) [4 pts] Find an equation of the normal line to $y=f(x)$ at $x=5$ .
(d) [4 pts] Find the area of the triangle bounded by the tangent line, the normal line and the $x$ -axis.

Adım adım çözüm

1. (a) Newton quotient'i yaz (tanım isteniyor, kural yasak): $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\sqrt{3x+3h+1}-\sqrt{3x+1}}{h}$ . [2 puan]

2. (a) Kök farkı var, payda $h$ çıksın diye eşlenikle çarp: $\dfrac{(3x+3h+1)-(3x+1)}{h\big(\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}\big)}=\dfrac{3}{\sqrt{3x+3h+1}+\sqrt{3x+1}}$ . [4 puan]

3. (a) $h$ sadeleşti, artık $h\to0$ koyabilirsin: $f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ ( $x\gt-\tfrac13$ ). [2 puan]

4. (b) Nokta ve eğim: $f(5)=\sqrt{16}=4$ , $f'(5)=\dfrac{3}{2\cdot4}=\dfrac38$ . Teğet: $y=4+\dfrac38(x-5)$ , yani $y=\dfrac38x+\dfrac{17}{8}$ . [4 puan]

5. (c) Normal eğimi $=-1/\tfrac38=-\tfrac83$ : $y=4-\dfrac83(x-5)$ , yani $y=-\dfrac83x+\dfrac{52}{3}$ . [4 puan]

6. (d) $x$ -eksenini kestikleri yerler ( $y=0$ koy): teğet $x=-\tfrac{17}{3}$ , normal $x=\tfrac{13}{2}$ . Taban $\tfrac{13}{2}+\tfrac{17}{3}=\tfrac{73}{6}$ , yükseklik = ortak noktanın $y$ 'si $=4$ . Alan $=\tfrac12\cdot\tfrac{73}{6}\cdot4=\tfrac{73}{3}$ . [4 puan]

Sonuç: (a) $f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ (b) $y=\tfrac38x+\tfrac{17}8$ (c) $y=-\tfrac83x+\tfrac{52}3$ (d) $\boxed{\tfrac{73}{3}}$

Bu soruda kalıp şuydu: kök içeren Newton quotient → eşlenik → $h$ sadeleşir; teğet = $f(a)$ + eğim, normal = $-1/$ eğim.

(a) $f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ (b) $y=\tfrac38x+\tfrac{17}8$ (c) $y=-\tfrac83x+\tfrac{52}3$ (d) $\boxed{\tfrac{73}{3}}$

Örnek 2Recognize the limit as a derivative (ODTÜ's favourite)

Do not use L'Hôpital's Rule.

(a) [5 pts] The limit $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{27+h}-3}{h}$ represents the derivative of a function $f$ at a number $a$ . Find $f$ and $a$ , and evaluate the limit.
(b) [5 pts] Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{119}-1}{x-1}$ .
(c) [6 pts] Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^3+1}-3}{x-2}$ .
(d) [6 pts] Let $f$ be differentiable at $2$ with $f'(2)=5$ . Evaluate $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}$ .

Adım adım çözüm

1. (a) Kalıp $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ : $f(x)=\sqrt[3]{x}$ , $a=27$ (kontrol: $f(27)=3$ ✓). Başka doğru seçim: $f(x)=\sqrt[3]{27+x}$ , $a=0$ . [2 puan]

2. (a) Değer: $f'(x)=\tfrac13x^{-2/3}$ ⇒ $f'(27)=\tfrac13\cdot\tfrac19=\tfrac1{27}$ . [3 puan]

3. (b) Kalıp $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ ve $1^{119}=1$ : $f(x)=x^{119}$ , limit $=f'(1)=119\cdot1^{118}=119$ . [5 puan]

4. (c) $g(x)=\sqrt{x^3+1}$ için $g(2)=3$ ✓, yani limit $g'(2)$ . [2 puan]

5. (c) Zincir kuralı: $g'(x)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}$ ⇒ $g'(2)=\dfrac{12}{6}=2$ . [4 puan]

6. (d) Tek bir türev kalıbı yok, $f(2)$ 'yi ekle-çıkar: $\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h}-\dfrac{f(2-h)-f(2)}{h}$ . [2 puan]

7. (d) Her parçayı kalıba uydur: $3\cdot\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h}+\dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}\to 3f'(2)+f'(2)=4\cdot5=20$ . [4 puan]

Sonuç: (a) $f(x)=\sqrt[3]x,\ a=27$ ; $\tfrac1{27}$ (b) $119$ (c) $2$ (d) $\boxed{20}$

Bu soruda kalıp şuydu: " $\text{şey}(x)-\text{sabit}$ " bölü " $x-a$ ya da $h$ " + sabit = şeyin $a$ 'daki değeri ⇒ limit = türev. Katsayı varsa ekle-çıkar ve katsayıyla çarp.

(a) $f(x)=\sqrt[3]x,\ a=27$ ; $\tfrac1{27}$ (b) $119$ (c) $2$ (d) $\boxed{20}$

Örnek 3Find a and b so that f is differentiable

Let
$f(x)=\begin{cases}ax^2+bx, & x\lt2\\[2pt] \dfrac{x^2}{x-1}, & x\ge2\end{cases}$
(a) [4 pts] Find a relation between $a$ and $b$ that makes $f$ continuous at $x=2$ .
(b) [8 pts] Using one-sided derivatives, find all $a,b$ such that $f$ is differentiable at $x=2$ .
(c) [4 pts] For these values, is $f'$ continuous at $x=2$ ?

Adım adım çözüm

1. (a) $f(2)=\frac{4}{1}=4$ ve sağ limit $4$ . Sol limit $4a+2b$ . Süreklilik için eşitle: $4a+2b=4$ . [4 puan]

2. (b) Türev için önce süreklilik şart (Theorem 1), (a)'daki denklemi kullan. Sağ türev, $f(2)=4$ ile: $\dfrac{\frac{(2+h)^2}{1+h}-4}{h}=\dfrac{4+4h+h^2-4-4h}{h(1+h)}=\dfrac{h}{1+h}\xrightarrow{h\to0^+}0$ . [3 puan]

3. (b) Sol türev, $f(2)=4=4a+2b$ ile: $\dfrac{a(2+h)^2+b(2+h)-(4a+2b)}{h}=4a+b+ah\xrightarrow{h\to0^-}4a+b$ . [3 puan]

4. (b) Eşitle ve sistemi çöz: $4a+b=0$ , $4a+2b=4$ ⇒ $b=4$ , $a=-1$ . [2 puan]

5. (c) $x\neq2$ için formül-türevler: sol $f'(x)=-2x+4\to0$ ; sağ $f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\to0$ . İki yan limit $f'(2)=0$ 'a eşit ⇒ evet, $f'$ $2$ 'de sürekli. [4 puan]

Sonuç: (a) $4a+2b=4$ (b) $\boxed{a=-1,\ b=4}$ (c) Yes, $\lim_{x\to2^\pm}f'(x)=0=f'(2)$

Bu soruda kalıp şuydu: süreklilik = 1. denklem, tek taraflı türevler (tanımdan) = 2. denklem; $f'$ sürekliliği = iki yandan formül-türevin limiti.

(a) $4a+2b=4$ (b) $\boxed{a=-1,\ b=4}$ (c) Yes, $\lim_{x\to2^\pm}f'(x)=0=f'(2)$

Örnek 4If possible, find a and b; if not, explain why

Let
$g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+a}{x-1}, & x\lt0\\[4pt] 2, & x=0\\[2pt] bx^2+2, & x\gt0\end{cases}$
[14 pts] If possible, determine $a$ and $b$ so that $g'(0)$ exists. If it is not possible, explain why.

Adım adım çözüm

1. Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, önce onu kur. $g(0)=2$ ; sağ limit $\lim_{x\to0^+}(bx^2+2)=2$ her $b$ için ✓. [2 puan]

2. Sol limit $\lim_{x\to0^-}\frac{x^2+a}{x-1}=-a$ . Süreklilik için $-a=2$ ⇒ $a=-2$ . ( $a\neq-2$ ise süreksiz, dolayısıyla türevsiz.) [3 puan]

3. Sağ türev ( $g(0)=2$ kullan): $\dfrac{bh^2+2-2}{h}=bh\xrightarrow{h\to0^+}0$ . Dikkat: $b$ 'ye bağlı değil. [3 puan]

4. Sol türev, $a=-2$ ile: $\dfrac{\frac{h^2-2}{h-1}-2}{h}=\dfrac{h^2-2-2h+2}{h(h-1)}=\dfrac{h-2}{h-1}\xrightarrow{h\to0^-}2$ . [4 puan]

5. Karşılaştır: $g'_-(0)=2\neq0=g'_+(0)$ ve $b$ bunu değiştiremiyor. Sonuç: böyle $a,b$ yoktur. [2 puan]

Sonuç: $\boxed{\text{No such } a,b}$ : continuity forces $a=-2$ , but then $g'_-(0)=2$ while $g'_+(0)=0$ for every $b$ .

Bu soruda kalıp şuydu: "if possible" yazıyorsa imkânsızlık ihtimalini ciddiye al: süreklilik bir parametreyi kilitler, diğer parametre türevi etkilemiyorsa cevap "yok".

$\boxed{\text{No such } a,b}$ : continuity forces $a=-2$ , but then $g'_-(0)=2$ while $g'_+(0)=0$ for every $b$ .

Örnek 5Corners, cusps and vertical tangents (|x| and fractional powers)

(a) [5 pts] Using the definition, show that $f(x)=x|x|$ is differentiable at $0$ , and find $f'(x)$ for all $x$ .
(b) [6 pts] Let $g(x)=|x^2-4x+3|$ . Find $g'(x)$ where it exists, and find the points where $g$ is not differentiable. Justify with one-sided derivatives at one of them.
(c) [5 pts] Does the graph of $k(x)=(x-2)^{1/3}+1$ have a tangent line at $x=2$ ? Does the graph of $m(x)=(x-2)^{2/3}$ ? If yes, give its equation.

Adım adım çözüm

1. (a) $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h|h|}{h}=|h|\to0$ ⇒ $f'(0)=0$ . $x\gt0$ : $f=x^2$ , $f'=2x$ ; $x\lt0$ : $f=-x^2$ , $f'=-2x$ . Hepsi birden: $f'(x)=2|x|$ . [5 puan]

2. (b) $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ . Zincir + signum: $g'(x)=\operatorname{sgn}(x^2-4x+3)\,(2x-4)$ , $x\neq1,3$ . [3 puan]

3. (b) $x=1$ yakınında $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ ve $|x-3|\to2$ : $\dfrac{g(1+h)-0}{h}=\dfrac{|h|\,|h-2|}{h}\to\pm2$ ( $h\to0^\pm$ ). $2\neq-2$ ⇒ türevsiz. Aynısı $x=3$ 'te. Singular points: $x=1$ , $x=3$ . [3 puan]

4. (c) $k$ $2$ 'de sürekli; $\dfrac{k(2+h)-k(2)}{h}=\dfrac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}\to+\infty$ (iki yandan) ⇒ dikey teğet $x=2$ . [3 puan]

5. (c) $m$ : $\dfrac{h^{2/3}}{h}=h^{-1/3}\to+\infty$ ( $h\to0^+$ ), $-\infty$ ( $h\to0^-$ ). İşaretler farklı (cusp) ⇒ teğet yok. [2 puan]

Sonuç: (a) $f'(x)=2|x|$ (b) $g'(x)=\operatorname{sgn}(x^2-4x+3)(2x-4)$ ; not differentiable at $x=1,3$ (c) $k$ : $\boxed{x=2}$ vertical tangent; $m$ : no tangent line

Bu soruda kalıp şuydu: $|u|$ köşe yapar sadece $u=0$ ve $u'\neq0$ olan yerde; kesirli kuvvette Newton quotient'in iki yandan aynı sonsuza gitmesi dikey teğet, zıt sonsuzlar cusp.

(a) $f'(x)=2|x|$ (b) $g'(x)=\operatorname{sgn}(x^2-4x+3)(2x-4)$ ; not differentiable at $x=1,3$ (c) $k$ : $\boxed{x=2}$ vertical tangent; $m$ : no tangent line

Örnek 6Differentiation rules, DO NOT SIMPLIFY, horizontal tangents

(a) [5 pts] Differentiate $y=x^{2/3}(x^2-4x)$ . DO NOT SIMPLIFY.
(b) [5 pts] Differentiate $y=\dfrac{x^2+1}{\sqrt x-3}$ . DO NOT SIMPLIFY.
(c) [6 pts] Find $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=4}$ for $y=\dfrac{x\sqrt x}{x+4}$ .
(d) [6 pts] Find all points on the curve $y=\dfrac{x^2-3}{x+2}$ where the tangent line is horizontal.
(e) [4 pts] Show that no tangent line to the curve in (d) is parallel to the line $y=x$ .

Adım adım çözüm

1. (a) Çarpım kuralı (product rule), $(x^{2/3})'=\tfrac23x^{-1/3}$ : $y'=\tfrac23x^{-1/3}(x^2-4x)+x^{2/3}(2x-4)$ . Dur, sadeleştirme. [5 puan]

2. (b) Bölüm kuralı (quotient rule), $(\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x}$ : $y'=\dfrac{2x(\sqrt x-3)-(x^2+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}}{(\sqrt x-3)^2}$ . [5 puan]

3. (c) Payı kuvvet yap: $y=\dfrac{x^{3/2}}{x+4}$ , $y'=\dfrac{\frac32x^{1/2}(x+4)-x^{3/2}}{(x+4)^2}$ . [3 puan]

4. (c) Hemen $x=4$ koy ( $\sqrt4=2$ , $4^{3/2}=8$ ): $\dfrac{\frac32\cdot2\cdot8-8}{64}=\dfrac{16}{64}=\dfrac14$ . [3 puan]

5. (d) $y'=\dfrac{2x(x+2)-(x^2-3)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$ . Yatay teğet $\iff y'=0\iff(x+1)(x+3)=0$ . [4 puan]

6. (d) Noktaları yaz: $x=-1$ : $y=\frac{-2}{1}=-2$ ; $x=-3$ : $y=\frac{6}{-1}=-6$ . Noktalar $(-1,-2)$ ve $(-3,-6)$ . [2 puan]

7. (e) Paralel ⇒ eğim $1$ . $x^2+4x+3=(x+2)^2-1$ olduğundan $y'=1-\dfrac{1}{(x+2)^2}\lt1$ her $x\neq-2$ için. Eğim hiç $1$ olamaz. [4 puan]

Sonuç: (c) $\tfrac14$ (d) $\boxed{(-1,-2),\ (-3,-6)}$ (e) $y'=1-\frac{1}{(x+2)^2}\lt1$

Bu soruda kalıp şuydu: kuralı uygula ve dur; noktadaki değer istenirse hemen sayı koy; "yatay teğet" = $y'=0$ , "paralel" = $y'=$ doğrunun eğimi.

(c) $\tfrac14$ (d) $\boxed{(-1,-2),\ (-3,-6)}$ (e) $y'=1-\frac{1}{(x+2)^2}\lt1$

Örnek 7Chain rule from a table, with a tangent line at the end

$f$ and $g$ are differentiable everywhere and satisfy

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
$1$	$3$	$-2$	$2$	$4$
$2$	$1$	$5$	$3$	$-1$
$3$	$2$	$4$	$1$	$6$

For (a)–(e) only the answer is required.
(a) [3 pts] $h(x)=f(x)g(x)$ . Find $h'(2)$ .
(b) [3 pts] $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ . Find $k'(1)$ .
(c) [3 pts] $u(x)=f(g(x))$ . Find $u'(1)$ .
(d) [3 pts] $v(x)=g(f(x))$ . Find $v'(3)$ .
(e) [3 pts] $w(x)=f(f(x))$ . Find $w'(2)$ .
(f) [6 pts] $p(x)=\sqrt{f(x)g(x)+3}$ . Find $p'(1)$ . Show your work.
(g) [7 pts] $q(x)=g\big(x\,f(x^2)\big)$ . Find an equation of the tangent line to $y=q(x)$ at $x=1$ . Show your work.

Adım adım çözüm

1. (a) $h'(2)=f'(2)g(2)+f(2)g'(2)=5\cdot3+1\cdot(-1)=14$ . [3 puan]

2. (b) $k'(1)=\dfrac{f'(1)g(1)-f(1)g'(1)}{g(1)^2}=\dfrac{(-2)(2)-(3)(4)}{4}=-4$ . [3 puan]

3. (c) İç değer önce: $g(1)=2$ . $u'(1)=f'(2)\,g'(1)=5\cdot4=20$ . [3 puan]

4. (d) İç değer: $f(3)=2$ . $v'(3)=g'(2)\,f'(3)=(-1)\cdot4=-4$ . [3 puan]

5. (e) İç değer: $f(2)=1$ . $w'(2)=f'(1)\,f'(2)=(-2)\cdot5=-10$ . [3 puan]

6. (f) İç değer: $f(1)g(1)+3=9$ , kök $3$ . Zincir + çarpım: $p'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}{2\sqrt{f(x)g(x)+3}}$ . [3 puan]

7. (f) Sayıları koy: $p'(1)=\dfrac{(-2)(2)+(3)(4)}{2\cdot3}=\dfrac86=\dfrac43$ . [3 puan]

8. (g) Teğet için iki sayı lazım. İç değer: $1\cdot f(1)=3$ ⇒ $q(1)=g(3)=1$ . [2 puan]

9. (g) İç fonksiyonun türevi (çarpım + zincir): $\frac{d}{dx}\big[xf(x^2)\big]=f(x^2)+x\,f'(x^2)\cdot2x$ , $x=1$ 'de $3+(-2)(2)=-1$ . [3 puan]

10. (g) $q'(1)=g'(3)\cdot(-1)=6\cdot(-1)=-6$ . Teğet: $y=1-6(x-1)$ , yani $y=-6x+7$ . [2 puan]

Sonuç: (a) $14$ (b) $-4$ (c) $20$ (d) $-4$ (e) $-10$ (f) $\tfrac43$ (g) $\boxed{y=-6x+7}$

Bu soruda kalıp şuydu: her zincir sorusunda önce iç değeri sayı olarak bul, sonra dış türevi o sayıda tablodan oku.

(a) $14$ (b) $-4$ (c) $20$ (d) $-4$ (e) $-10$ (f) $\tfrac43$ (g) $\boxed{y=-6x+7}$

Örnek 8Parçalı fonksiyon, tanımdan: eşlenikli tek yanlı türev, $f'$ sürekli mi, $f''(0)$

Let
$f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-2x}, & x\lt 0\\[2pt] 1+ax+bx^2, & x\ge 0\end{cases}$
where $a$ and $b$ are constants. Do not use L'Hôpital's rule.

(a) [7 pts] Using the limit definition of the derivative, find $a$ such that $f'(0)$ exists, and find $f'(0)$ .

(b) [4 pts] With this $a$ , find $f'(x)$ for $x\ne0$ and decide whether $f'$ is continuous at $x=0$ .

(c) [5 pts] Find $b$ such that $f''(0)$ exists. Use $f''(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f'(0+h)-f'(0)}{h}$ .

Adım adım çözüm

1. (a) Önce süreklilik: $f(0)=1$ (alt parça $x\ge0$ ), sol limit $\sqrt1=1$ , sağ limit $1$ . $f$ , $0$ 'da sürekli, her $a,b$ için. Neden: türevden önce süreklilik (süreksizse iş biter). [1 puan]

2. (a) Sol türev, $f(0)=1$ ile, eşlenikle: $f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{1-2h}-1}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{(1-2h)-1}{h\left(\sqrt{1-2h}+1\right)}=\lim_{h\to0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-2h}+1}=-1.$ [3 puan]

3. (a) Sağ türev: $f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\dfrac{1+ah+bh^2-1}{h}=\lim_{h\to0^+}(a+bh)=a$ . [2 puan]

4. (a) Eşitle: $a=-1$ , $f'(0)=-1$ ( $b$ serbest). [1 puan]

5. (b) $x\lt0$ : $f'(x)=\dfrac{-2}{2\sqrt{1-2x}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-2x}}$ ; $x\gt0$ : $f'(x)=-1+2bx$ . Neden: $x\ne0$ 'da formül-türev serbest; $0$ 'da değil. [2 puan]

6. (b) $\lim_{x\to0^-}f'(x)=-1$ , $\lim_{x\to0^+}f'(x)=-1$ , ikisi de $f'(0)=-1$ 'e eşit: evet, $f'$ $0$ 'da sürekli (her $b$ için). [2 puan]

7. (c) $f''(0)$ = $f'$ 'nün $0$ 'daki türevi; yine tanımdan, $f'(0)=-1$ (a'dan) ile. Sol: $\lim_{h\to0^-}\frac{-\frac{1}{\sqrt{1-2h}}+1}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{1-2h}-1}{h\sqrt{1-2h}}=\lim_{h\to0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-2h}\left(\sqrt{1-2h}+1\right)}=-1.$ [3 puan]

8. (c) Sağ: $\lim_{h\to0^+}\dfrac{(-1+2bh)-(-1)}{h}=2b$ . Eşitle: $2b=-1$ , $b=-\frac12$ , $f''(0)=-1$ . [2 puan]

Bu soruda kalıp şuydu: her basamakta aynı üç hamle: süreklilik (önceki basamak) → tek yanlı fark bölümü (kök varsa eşlenik) → eşitle. $f''(a)$ sorusu yeni bir şey değil: $f'$ 'yü yeni fonksiyon gibi al, $f'(a)$ 'yı (a)'dan koy. Kısayol (yalnız sağlama): parçaların ikinci türevleri $0$ 'da $-1$ ve $2b$ ; ama sınavda "using the definition" yazıyorsa fark bölümünü yaz.

(a) $\boxed{a=-1,\ f'(0)=-1}$ (b) $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ ( $x\lt0$ ), $-1+2bx$ ( $x\gt0$ ); yes, $f'$ is continuous at $0$ (c) $\boxed{b=-\tfrac12}$ , $f''(0)=-1$

Sıra sende

Panik rotası: vaktin azsa önce bunlar: Soru 1, Soru 2, Soru 3, Soru 5, Soru 6, Soru 7, Soru 14, Soru 15, Soru 16, Soru 24.

Soru 1öncelikli · kolay

Let $f(x)=x^2-3x$ and $g(x)=\dfrac{1}{2x+3}$ .

(a) [6 pts] Using the definition of the derivative, find $f'(x)$ .
(b) [3 pts] Find an equation of the tangent line to $y=f(x)$ at $x=2$ .
(c) [6 pts] Using the definition of the derivative, find $g'(x)$ .

Cevapları göster

(a)

f'(x) = 2x − 3

(b)

y = x − 4

(c)

g'(x) = −2/(2x+3)²

Tam çözüm

(a) Polinom: aç ve $h$ parantezine al.
$\begin{aligned}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\frac{(x+h)^2-3(x+h)-x^2+3x}{h}\\&=\frac{2xh+h^2-3h}{h}=2x+h-3\to2x-3.\end{aligned}$
(b) $f(2)=-2$ , $f'(2)=1$ : $y=-2+(x-2)$ , yani $\boxed{y=x-4}$ .

(c) Kesir: payda eşitle.
$\begin{aligned}\frac{\frac{1}{2x+2h+3}-\frac{1}{2x+3}}{h}&=\frac{(2x+3)-(2x+2h+3)}{h(2x+2h+3)(2x+3)}\\&=\frac{-2}{(2x+2h+3)(2x+3)}\to\frac{-2}{(2x+3)^2}.\end{aligned}$

Soru 2öncelikli · kolay

Sınav ikizi: 2016-17 Güz MT1 Q4a kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Evaluate each limit by recognizing it as a derivative. [Do not use L'Hôpital's Rule.]

(a) [4 pts] $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[5]{32+h}-2}{h}$ (also state the $f$ and $a$ you used)
(b) [4 pts] $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^4-81}{x-3}$
(c) [4 pts] $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{(2+h)^2}-\frac14}{h}$
(d) [5 pts] $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{119}+x-2}{x-1}$

Cevapları göster

(a)

1/80

(b)

108

(c)

−1/4

(d)

120

Tam çözüm

(a) $f(x)=\sqrt[5]{x}$ , $a=32$ ( $f(32)=2$ ✓). $f'(x)=\tfrac15x^{-4/5}$ , $f'(32)=\tfrac15\cdot\tfrac1{16}=\boxed{\tfrac1{80}}$ .

(b) $x^4$ 'ün $3$ 'teki türevi ( $3^4=81$ ✓): $4\cdot3^3=\boxed{108}$ .

(c) $f(x)=x^{-2}$ , $a=2$ ( $f(2)=\tfrac14$ ✓): $f'(2)=-2\cdot2^{-3}=\boxed{-\tfrac14}$ .

(d) $f(x)=x^{119}+x$ alırsan $f(1)=2$ ✓, limit $f'(1)=119+1=\boxed{120}$ . (Ya da ikiye böl: $\frac{x^{119}-1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}\to119+1$ .)

Soru 3öncelikli · kolay

Sınav ikizi: 2016-17 Güz MT1 Q4b kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Compute the derivatives of the following functions. DO NOT SIMPLIFY!

(a) [4 pts] $y=(x^3-2x)\big(\sqrt x+x^{-2}\big)$
(b) [4 pts] $y=\dfrac{3x-1}{x^2+x+1}$
(c) [3 pts] $y=\dfrac{1}{x^4+2x}$
(d) [3 pts] $y=(2x^2+1)^5$

Cevapları göster

(a)

(3x²−2)(√x+x⁻²)+(x³−2x)(1/(2√x)−2x⁻³)

(b)

[3(x²+x+1)−(3x−1)(2x+1)]/(x²+x+1)²

(c)

−(4x³+2)/(x⁴+2x)²

(d)

5(2x²+1)⁴·4x

Tam çözüm

(a) Çarpım kuralı: $y'=(3x^2-2)\big(\sqrt x+x^{-2}\big)+(x^3-2x)\Big(\dfrac{1}{2\sqrt x}-2x^{-3}\Big)$ .

(b) Bölüm kuralı: $y'=\dfrac{3(x^2+x+1)-(3x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$ .

(c) Reciprocal Rule: $y'=-\dfrac{4x^3+2}{(x^4+2x)^2}$ .

(d) Zincir: $y'=5(2x^2+1)^4\cdot4x$ . Açıp 10. dereceden polinom yazmaya kalkma.

Soru 4kolay

Leibniz notation drill.

(a) [3 pts] $V=\frac43\pi r^3$ . Find $\dfrac{dV}{dr}\Big|_{r=3}$ .
(b) [3 pts] $s=t^3-6t^2+2$ . Find $\dfrac{ds}{dt}\Big|_{t=1}$ .
(c) [3 pts] Find $\dfrac{d}{dx}\big(x^2\sqrt x\big)\Big|_{x=4}$ .
(d) [4 pts] $y=u^3$ and $u=2x+1$ . Find $\dfrac{dy}{dx}$ when $x=1$ .

Cevapları göster

(a)

36π

(b)

−9

(c)

20

(d)

54

Tam çözüm

(a) $\frac{dV}{dr}=4\pi r^2$ ⇒ $r=3$ : $\boxed{36\pi}$ .

(b) $\frac{ds}{dt}=3t^2-12t$ ⇒ $t=1$ : $\boxed{-9}$ .

(c) $x^2\sqrt x=x^{5/2}$ , türevi $\tfrac52x^{3/2}$ ⇒ $x=4$ : $\tfrac52\cdot8=\boxed{20}$ .

(d) $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=3u^2\cdot2$ . $x=1$ ⇒ $u=3$ : $3\cdot9\cdot2=\boxed{54}$ .

Soru 5öncelikli · kolay

Let
$f(x)=\begin{cases}x^3+ax, & x\le1\\ bx^2+1, & x\gt1\end{cases}$
(a) [4 pts] Find a condition on $a$ and $b$ for $f$ to be continuous at $x=1$ .
(b) [6 pts] Using one-sided derivatives, find $a$ and $b$ so that $f$ is differentiable at $x=1$ .

Cevapları göster

(a)

a = b

(b)

a = 3, b = 3

Tam çözüm

(a) $f(1)=1+a$ (sol satır $x\le1$ ), sağ limit $b+1$ . Süreklilik: $1+a=b+1$ , yani $\boxed{a=b}$ .

(b) Süreklilik şart, $f(1)=1+a=b+1$ .
$\begin{aligned}f'_-(1)&=\lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)^3+a(1+h)-(1+a)}{h}\\&=\lim_{h\to0^-}(3+3h+h^2+a)=3+a\\f'_+(1)&=\lim_{h\to0^+}\frac{b(1+h)^2+1-(b+1)}{h}\\&=\lim_{h\to0^+}(2b+bh)=2b\end{aligned}$
$3+a=2b$ ve $a=b$ ⇒ $\boxed{a=b=3}$ . Kontrol: iki parça da $1$ 'de $4$ değerini ve $6$ eğimini veriyor.

Soru 6öncelikli · orta

Sınav ikizi: 2015-16 Güz MT1 Q4 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{a}{x+2}, & x\le0\\[4pt] \sqrt{x+4}+bx, & x\gt0\end{cases}$
[10 pts] Find all values of $a$ and $b$ for which $f$ is differentiable at $x=0$ . Compute the one-sided derivatives from the definition.

Cevapları göster

(a)

a = 4, b = −5/4

Tam çözüm

1. Süreklilik [3]: $f(0)=\frac a2$ , sağ limit $\sqrt4=2$ ⇒ $a=4$ , $f(0)=2$ .

2. Sol türev [3] (payda eşitle):
$\frac{\frac{4}{h+2}-2}{h}=\frac{4-2h-4}{h(h+2)}=\frac{-2}{h+2}\xrightarrow{h\to0^-}-1.$

3. Sağ türev [3] (eşlenik):
$\frac{\sqrt{4+h}+bh-2}{h}=\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}+b\xrightarrow{h\to0^+}\frac14+b.$

4. Eşitle [1]: $\tfrac14+b=-1$ ⇒ $\boxed{a=4,\ b=-\tfrac54}$ .

Soru 7öncelikli · orta

Sınav ikizi: 2019-20 Güz MT1 Q7 / 2023-24 Güz MT1 Q3 tipi (yapı; fonksiyon yeni) kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{1+x^3}-1}{x^2}, & x\lt0\\[4pt] ax+b, & x\ge0\end{cases}$
(a) [3 pts] For which $b$ is $f$ continuous at $0$ ?
(b) [5 pts] Find all $a,b$ such that $f$ is differentiable at $0$ .
(c) [2 pts] For which $a,b$ is $f$ continuous but not differentiable at $0$ ?

Cevapları göster

(a)

b = 0

(b)

a = 1/2, b = 0

(c)

b = 0, a ≠ 1/2

Tam çözüm

(a) Eşlenik: $\dfrac{\sqrt{1+x^3}-1}{x^2}=\dfrac{x^3}{x^2\left(\sqrt{1+x^3}+1\right)}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^3}+1}\to\dfrac{0}{2}=0$ . $f(0)=b$ ⇒ $\boxed{b=0}$ .

(b) $b=0$ şart, $f(0)=0$ .
$f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{\frac{\sqrt{1+h^3}-1}{h^2}-0}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{\sqrt{1+h^3}-1}{h^3}=\lim_{h\to0^-}\frac{1}{\sqrt{1+h^3}+1}=\frac12,$
$f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{ah}{h}=a$ . Eşitle: $\boxed{a=\tfrac12,\ b=0}$ .

Not: sol parçanın türevini bölüm kuralıyla almaya gerek yok; fark bölümü + eşlenik yetti.

(c) $b=0$ ve $a\neq\frac12$ .

Soru 8orta

Sınav ikizi: 2016-17 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Let
$f(x)=\begin{cases}4x-2, & x\lt1\\ 3, & x=1\\ x^2+2x, & x\gt1\end{cases}$
(a) [5 pts] Find $f'(1)$ if it exists, or explain why it does not exist.
(b) [5 pts] Now replace $4x-2$ by $4x+c$ . Find $c$ so that $f$ is differentiable at $1$ , and compute $f'(1)$ from the definition.

Cevapları göster

(a)

does not exist (f not continuous at 1)

(b)

c = −1, f'(1) = 4

Tam çözüm

(a) $\lim_{x\to1^-}f=2$ ama $f(1)=3$ ⇒ $f$ $1$ 'de sürekli değil, dolayısıyla türevlenebilir değil: $f'(1)$ yok. Tuzak: iki parçanın formül-türevi $1$ 'de eşit ( $4$ ve $2x+2=4$ ), ama kopuk fonksiyonda bu bir şey ifade etmez. (Sol Newton quotient $\frac{4(1+h)-2-3}{h}=4-\frac1h\to+\infty$ .)

(b) Süreklilik: $4+c=3$ ⇒ $c=-1$ . Sonra
$\begin{aligned}f'_-(1)&=\lim_{h\to0^-}\frac{4(1+h)-1-3}{h}=4\\f'_+(1)&=\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)^2+2(1+h)-3}{h}\\&=\lim_{h\to0^+}(h+4)=4\end{aligned}$
⇒ $\boxed{c=-1,\ f'(1)=4}$ .

Soru 9sınav ayarı

Let
$f(x)=\begin{cases}ax^2+b, & |x|\le2\\[2pt] \dfrac{8}{|x|}, & |x|\gt2\end{cases}$
(a) [8 pts] Find $a$ and $b$ so that $f$ is differentiable everywhere.
(b) [4 pts] Explain why it is enough to check the point $x=2$ only.
(c) [3 pts] For these values write $f'(x)$ for all $x$ .

Cevapları göster

(a)

a = −1/2, b = 6

(b)

f is even, so x = −2 mirrors x = 2

(c)

f'(x) = −x for |x| ≤ 2, −8x/|x|³ for |x| > 2

Tam çözüm

(a) $x=2$ 'de: süreklilik $4a+b=\frac82=4$ . Türevler (süreklilikten sonra formül-türevler): sol $2ax\big|_{2}=4a$ , sağ $\frac{d}{dx}\frac8x=-\frac{8}{x^2}\big|_2=-2$ . ⇒ $4a=-2$ , $\boxed{a=-\tfrac12,\ b=6}$ .

Tanımdan kontrol: $f'_+(2)=\lim_{h\to0^+}\frac{\frac{8}{2+h}-4}{h}=\lim\frac{-4}{2+h}=-2$ , $f'_-(2)=\lim_{h\to0^-}\frac{-\frac12(2+h)^2+6-4}{h}=\lim(-2-\tfrac h2)=-2$ ✓.

(b) $f$ çift fonksiyon ( $f(-x)=f(x)$ ). $x=-2$ 'deki tablo $x=2$ 'nin aynası: süreklilik aynı denklem, türevlerin işareti ikisinde birden değişir. Diğer her yerde parçalar türevli formüller.

(c) $f'(x)=-x$ ( $|x|\le2$ ), $f'(x)=-\dfrac{8\operatorname{sgn}x}{x^2}=-\dfrac{8x}{|x|^3}$ ( $|x|\gt2$ ). Kontrol $x=-2$ : içten $2$ , dıştan $-\frac{8(-1)}{4}=2$ ✓.

Soru 10orta

(a) [6 pts] Find all points where $f(x)=|x^3-4x|$ is not differentiable, and give $f'(x)$ elsewhere.
(b) [3 pts] Is $g(x)=(x-1)|x-1|$ differentiable at $x=1$ ? If so, find $g'(1)$ .
(c) [3 pts] Is $k(x)=x|x-1|$ differentiable at $x=1$ ?

Cevapları göster

(a)

not differentiable at x = −2, 0, 2; f'(x)=sgn(x³−4x)(3x²−4)

(b)

yes, g'(1) = 0

(c)

no (one-sided derivatives ±1)

Tam çözüm

(a) $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ , kökler $0,\pm2$ . $f'(x)=\operatorname{sgn}(x^3-4x)\,(3x^2-4)$ , $x\neq0,\pm2$ . Köklerde $u'=3x^2-4$ değerleri $-4,8,8$ , hiçbiri $0$ değil ⇒ hepsi köşe. Örnek $x=0$ : $\frac{|h^3-4h|}{h}=\frac{|h|\,|h^2-4|}{h}\to\pm4$ . Türevsiz: $x=-2,0,2$ .

(b) $\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h}=\dfrac{h|h|}{h}=|h|\to0$ ⇒ evet, $g'(1)=0$ .

(c) $\dfrac{k(1+h)-0}{h}=\dfrac{(1+h)|h|}{h}\to\pm1$ ⇒ hayır. Fark: (b)'de $|x-1|$ 'in önündeki çarpan $1$ 'de sıfır, (c)'de $1$ .

Soru 11orta

Let $C$ be the curve $y=x^2-2x+4$ .

(a) [7 pts] Find equations of all lines through the point $(1,-1)$ that are tangent to $C$ .
(b) [5 pts] Find the point on $C$ at which the normal line is parallel to the line $x+6y=1$ , and write the equation of that normal line.

Cevapları göster

(a)

y = 4x − 5 and y = −4x + 3

(b)

(4, 12); y = −x/6 + 38/3

Tam çözüm

(a) $(1,-1)$ eğrinin üstünde değil ( $1-2+4=3$ ). Teğet noktası $(a,\,a^2-2a+4)$ , eğim $2a-2$ :
$y=a^2-2a+4+(2a-2)(x-a).$
$(1,-1)$ 'i koy: $-1=a^2-2a+4+(2a-2)(1-a)=-a^2+2a+2$ ⇒ $a^2-2a-3=0$ ⇒ $a=3$ veya $a=-1$ .

$a=3$ : nokta $(3,7)$ , eğim $4$ : $\boxed{y=4x-5}$ .
$a=-1$ : nokta $(-1,7)$ , eğim $-4$ : $\boxed{y=-4x+3}$ .

(b) $x+6y=1$ 'in eğimi $-\tfrac16$ . Normal eğimi $-\tfrac16$ ⇒ teğet eğimi $6$ : $2a-2=6$ , $a=4$ , nokta $(4,12)$ . Normal: $y=12-\tfrac16(x-4)$ , yani $\boxed{y=-\tfrac16x+\tfrac{38}{3}}$ .

Soru 12orta

Sınav ikizi: 2016-17 Güz MT1 Q5 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

(a) [5 pts] Find an equation of the line through $(-4,0)$ that is tangent to $y=\sqrt x$ .
(b) [6 pts] Find the normal line to $y=x^3-x$ at $(1,0)$ , and show that it meets the curve at no other point.

Cevapları göster

(a)

y = x/4 + 1

(b)

y = −(x−1)/2; (x−1)(x²+x+½)=0 has only x=1

Tam çözüm

(a) Teğet noktası $(a,\sqrt a)$ , $a\gt0$ , eğim $\frac{1}{2\sqrt a}$ : $y=\sqrt a+\frac{x-a}{2\sqrt a}$ . $(-4,0)$ : $0=\sqrt a+\frac{-4-a}{2\sqrt a}$ ⇒ $2a-4-a=0$ ⇒ $a=4$ . Teğet $y=2+\frac{x-4}{4}$ , yani $\boxed{y=\tfrac x4+1}$ .

(b) $y'=3x^2-1=2$ at $x=1$ ; normal eğimi $-\tfrac12$ : $\boxed{y=-\tfrac12(x-1)}$ . Eğriyle kesiştir: $x^3-x=-\tfrac12x+\tfrac12$ ⇒ $x^3-\tfrac12x-\tfrac12=0$ ⇒ $(x-1)\big(x^2+x+\tfrac12\big)=0$ . İkinci çarpanın diskriminantı $1-2=-1\lt0$ ⇒ başka gerçek kök yok.

Soru 13sınav ayarı

[10 pts] Find all lines that are tangent to both parabolas $y=x^2$ and $y=-x^2+4x-4$ .

Cevapları göster

(a)

y = 4x − 4 and y = 0

Tam çözüm

1. $y=x^2$ 'ye $x=a$ 'daki teğet: $y=2ax-a^2$ . [2]

2. $y=-x^2+4x-4$ 'e $x=b$ 'deki teğet: eğim $-2b+4$ , $y=(-2b+4)(x-b)-b^2+4b-4=(4-2b)x+b^2-4$ . [3]

3. Aynı doğru ⇔ eğimler ve kesişimler eşit: $2a=4-2b$ , $-a^2=b^2-4$ . [2]

4. $a=2-b$ koy: $-(2-b)^2=b^2-4$ ⇒ $2b^2-4b=0$ ⇒ $b=0$ ( $a=2$ ) veya $b=2$ ( $a=0$ ). [2]

5. Doğrular: $a=2$ : $\boxed{y=4x-4}$ ; $a=0$ : $\boxed{y=0}$ . [1] (Kontrol: $y=0$ , ikinci parabole tepe noktası $(2,0)$ 'da teğet.)

Soru 14öncelikli · orta

Sınav ikizi: 2018-19 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Compute the derivatives. DO NOT SIMPLIFY!

(a) [4 pts] $y=\sqrt{x+\sqrt x}$
(b) [5 pts] $y=\Big(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\Big)^5$
(c) [3 pts] $y=\dfrac{1}{(3-2x^3)^4}$
(d) [3 pts] $y=|x^2-9|$ (state where $y'$ does not exist)
(e) [5 pts] $y=\big(x+(x^2+1)^3\big)^{-2}$

Cevapları göster

(a)

(1+1/(2√x))/(2√(x+√x))

(b)

5((x²−1)/(x²+1))⁴·[2x(x²+1)−(x²−1)2x]/(x²+1)²

(c)

−4(3−2x³)⁻⁵(−6x²)

(d)

sgn(x²−9)·2x, undefined at x=±3

(e)

−2(x+(x²+1)³)⁻³(1+6x(x²+1)²)

Tam çözüm

(a) $y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt x}}\Big(1+\dfrac{1}{2\sqrt x}\Big)$ .

(b) $y'=5\Big(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\Big)^4\cdot\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}$ .

(c) $y=(3-2x^3)^{-4}$ ⇒ $y'=-4(3-2x^3)^{-5}(-6x^2)$ .

(d) $y'=\operatorname{sgn}(x^2-9)\cdot2x$ , $x=\pm3$ 'te yok (orada $2x=\pm6\neq0$ , köşe).

(e) $y'=-2\big(x+(x^2+1)^3\big)^{-3}\big(1+3(x^2+1)^2\cdot2x\big)$ . İki katman zincir: dış $(\cdot)^{-2}$ , iç toplamın içinde bir zincir daha.

Soru 15öncelikli · orta

Let $f$ be differentiable everywhere. Express each derivative in terms of $f$ and $f'$ .

(a) [2 pts] $\dfrac{d}{dx}f(3x^2)$ (b) [2 pts] $\dfrac{d}{dx}f(\sqrt x)$ (c) [3 pts] $\dfrac{d}{dx}\Big[x^2f\Big(\dfrac1x\Big)\Big]$
(d) [2 pts] $\dfrac{d}{dx}f(f(x))$ (e) [4 pts] $\dfrac{d}{dx}\big[f(2-f(x))\big]^3$ (f) [3 pts] $\dfrac{d}{dx}\sqrt{f(x^2)+1}$

Cevapları göster

(a)

6x f'(3x²)

(b)

f'(√x)/(2√x)

(c)

2x f(1/x) − f'(1/x)

(d)

f'(f(x)) f'(x)

(e)

−3[f(2−f(x))]² f'(2−f(x)) f'(x)

(f)

x f'(x²)/√(f(x²)+1)

Tam çözüm

(a) $6x\,f'(3x^2)$ .

(b) $\dfrac{f'(\sqrt x)}{2\sqrt x}$ .

(c) Çarpım + zincir: $2x\,f\big(\tfrac1x\big)+x^2f'\big(\tfrac1x\big)\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)=2x\,f\big(\tfrac1x\big)-f'\big(\tfrac1x\big)$ .

(d) $f'(f(x))\,f'(x)$ .

(e) Üç katman: küp → $f$ → $2-f(x)$ :
$3\big[f(2-f(x))\big]^2\,f'(2-f(x))\,\big(-f'(x)\big).$

(f) $\dfrac{2x\,f'(x^2)}{2\sqrt{f(x^2)+1}}$ .

Soru 16öncelikli · orta

Sınav ikizi: 2018-19 Güz MT1 Q5 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

$f$ and $g$ are differentiable everywhere, with

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
$0$	$2$	$3$	$1$	$-2$
$1$	$0$	$-1$	$2$	$5$
$2$	$1$	$4$	$0$	$3$

Write only the answers. [3 pts each]
(a) $(fg)'(1)$ (b) $\Big(\dfrac gf\Big)'(2)$ (c) $(f\circ g)'(0)$ (d) $(g\circ f)'(1)$ (e) $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\big]^3\Big|_{x=2}$ (f) $\dfrac{d}{dx}f(2x)\Big|_{x=1}$ (g) $\dfrac{d}{dx}g(g(x))\Big|_{x=0}$

Cevapları göster

(a)

−2

(b)

3

(c)

2

(d)

2

(e)

12

(f)

8

(g)

−10

Tam çözüm

(a) $f'(1)g(1)+f(1)g'(1)=(-1)(2)+0=\boxed{-2}$

(b) $\dfrac{g'(2)f(2)-g(2)f'(2)}{f(2)^2}=\dfrac{3\cdot1-0}{1}=\boxed{3}$

(c) iç $g(0)=1$ : $f'(1)\,g'(0)=(-1)(-2)=\boxed{2}$

(d) iç $f(1)=0$ : $g'(0)\,f'(1)=(-2)(-1)=\boxed{2}$

(e) $3f(2)^2f'(2)=3\cdot1\cdot4=\boxed{12}$

(f) $2f'(2\cdot1)=2\cdot4=\boxed{8}$ (dikkat: $f'(2)$ , $f'(1)$ değil)

(g) iç $g(0)=1$ : $g'(1)\,g'(0)=5\cdot(-2)=\boxed{-10}$

Soru 17sınav ayarı

The line $y=3x-1$ is tangent to $y=f(x)$ at $x=1$ , and the line $y=-x+6$ is tangent to $y=f(x)$ at $x=2$ .

(a) [4 pts] Find $f(1)$ , $f'(1)$ , $f(2)$ , $f'(2)$ .
(b) [6 pts] Let $h(x)=f\big(x\,f(x)\big)$ . Find an equation of the tangent line to $y=h(x)$ at $x=1$ .
(c) [5 pts] Let $k(x)=\dfrac{[f(x)]^3}{x+1}$ . Find the tangent line to $y=k(x)$ at $x=1$ .
(d) [5 pts] Let $m(x)=f\big(f(x)-1\big)$ . Find the tangent line to $y=m(x)$ at $x=1$ .

Cevapları göster

(a)

f(1)=2, f'(1)=3, f(2)=4, f'(2)=−1

(b)

y = −5x + 9

(c)

y = 16x − 12

(d)

y = 9x − 7

Tam çözüm

(a) Teğet noktada eğriyle aynı değeri ve eğimi taşır: $f(1)=3-1=2$ , $f'(1)=3$ ; $f(2)=-2+6=4$ , $f'(2)=-1$ .

(b) İç değer $1\cdot f(1)=2$ ⇒ $h(1)=f(2)=4$ . İç türev $f(x)+xf'(x)$ , $x=1$ 'de $2+3=5$ . $h'(1)=f'(2)\cdot5=-5$ . Teğet $y=4-5(x-1)$ , $\boxed{y=-5x+9}$ .

(c) $k(1)=\frac{8}{2}=4$ . Bölüm + zincir:
$k'(x)=\frac{3f(x)^2f'(x)(x+1)-f(x)^3}{(x+1)^2}\ \Rightarrow\ k'(1)=\frac{3\cdot4\cdot3\cdot2-8}{4}=16.$
Teğet $y=4+16(x-1)$ , $\boxed{y=16x-12}$ .

(d) İç değer $f(1)-1=1$ ⇒ $m(1)=f(1)=2$ . $m'(1)=f'(1)\cdot f'(1)=9$ . Teğet $\boxed{y=9x-7}$ .

Soru 18orta

(a) [5 pts] $y=u^3+2u$ and $u=\dfrac{x}{x+1}$ . Find $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=1}$ .
(b) [3 pts] $y=f(u)$ , $u=g(x)$ with $g(3)=2$ , $g'(3)=5$ , $f'(2)=-1$ . Find $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=3}$ .
(c) [4 pts] $y=\sqrt u$ and $u=x^2+3x$ . Find $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=1}$ .

Cevapları göster

(a)

11/16

(b)

−5

(c)

5/4

Tam çözüm

(a) $x=1$ ⇒ $u=\tfrac12$ . $\frac{dy}{du}=3u^2+2=\tfrac34+2=\tfrac{11}4$ ; $\frac{du}{dx}=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}=\tfrac14$ . Çarp: $\boxed{\tfrac{11}{16}}$ .

(b) $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=f'(g(3))\,g'(3)=f'(2)\cdot5=\boxed{-5}$ .

(c) $u(1)=4$ ; $\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt u}=\tfrac14$ , $\frac{du}{dx}=2x+3=5$ ⇒ $\boxed{\tfrac54}$ .

Soru 19sınav ayarı

Sınav ikizi: 2019-20 Güz MT1 Q6 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

For each statement, write TRUE or FALSE. If true, prove it; if false, give a specific counterexample. [3 pts each]

(a) If $f+g$ is differentiable at $0$ , then $f$ and $g$ are differentiable at $0$ .
(b) If $f$ is differentiable at $a$ and $g$ is not, then $f+g$ is not differentiable at $a$ .
(c) If $f$ is differentiable at $0$ and $g$ is not, then $fg$ is not differentiable at $0$ .
(d) If $|f|$ is differentiable at $0$ , then $f$ is differentiable at $0$ .
(e) If $f'(a)$ exists, then $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a)$ .
(f) If $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ exists, then $f'(a)$ exists.

Cevapları göster

(a)

False: |x| and −|x|

(b)

True

(c)

False: x·|x|

(d)

False: sign-type step

(e)

True

(f)

False: |x| at 0

Tam çözüm

(a) FALSE. $f(x)=|x|$ , $g(x)=-|x|$ : $f+g\equiv0$ türevli, $f$ ve $g$ değil.

(b) TRUE. $f+g$ türevli olsaydı $g=(f+g)-f$ iki türevli fonksiyonun farkı olarak türevli olurdu. Çelişki.

(c) FALSE. $f(x)=x$ , $g(x)=|x|$ . $fg=x|x|$ : $\frac{h|h|}{h}=|h|\to0$ , yani $(fg)'(0)=0$ var.

(d) FALSE. $f(x)=1$ ( $x\ge0$ ), $f(x)=-1$ ( $x\lt0$ ): $|f|\equiv1$ türevli, $f$ $0$ 'da süreksiz ⇒ türevsiz.

(e) TRUE. $f(a)$ 'yı ekle-çıkar:
$\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\frac12\Big[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\Big]\to\frac12\big[f'(a)+f'(a)\big].$

(f) FALSE. $f(x)=|x|$ , $a=0$ : $\frac{|h|-|-h|}{2h}=0\to0$ , ama $f'(0)$ yok.

Soru 20sınav ayarı

Let $f$ be differentiable everywhere and let $g(x)=f(|x|)$ .

(a) [6 pts] Show that $g'(0)$ exists if and only if $f'(0)=0$ .
(b) [3 pts] For $x\neq0$ , express $g'(x)$ in terms of $f'$ .
(c) [3 pts] Is $x^2+|x|$ differentiable at $0$ ? Is $|x|^3+1$ ? Use (a).

Cevapları göster

(a)

g'_±(0) = ±f'(0), equal iff f'(0)=0

(b)

g'(x) = f'(|x|) sgn x

(c)

x²+|x|: no; |x|³+1: yes

Tam çözüm

(a) $g(0)=f(0)$ . $h\gt0$ : $\frac{g(h)-g(0)}{h}=\frac{f(h)-f(0)}{h}\to f'(0)$ . $h\lt0$ : $|h|=-h$ ,
$\frac{g(h)-g(0)}{h}=\frac{f(-h)-f(0)}{h}=-\frac{f(-h)-f(0)}{-h}\to-f'(0).$
$g'_+(0)=f'(0)$ , $g'_-(0)=-f'(0)$ ; eşit $\iff f'(0)=-f'(0)\iff f'(0)=0$ .

(b) Zincir + signum: $g'(x)=f'(|x|)\operatorname{sgn}x$ .

(c) $x^2+|x|=f(|x|)$ with $f(t)=t^2+t$ , $f'(0)=1\neq0$ ⇒ türevsiz. $|x|^3+1=f(|x|)$ with $f(t)=t^3+1$ , $f'(0)=0$ ⇒ türevli.

Soru 21sınav ayarı

Sınav ikizi: 2013-14 Güz MT1 Q2 tipi (yapı değişti: |x−2| çarpanı) kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

(a) [5 pts] Suppose $|f(x)|\le x^2$ for all $x$ . Show that $f$ is differentiable at $0$ and find $f'(0)$ .
(b) [5 pts] Let $f(x)=|x-2|\,g(x)$ , where $g$ is continuous at $2$ . Using the definition, show that $f'(2)$ exists if and only if $g(2)=0$ , and find $f'(2)$ in that case. (Note: $g$ is not assumed differentiable.)
(c) [3 pts] Explain why the Product Rule cannot be used in (b), and give an example of a $g$ with $g(2)=0$ that is not differentiable at $2$ .

Cevapları göster

(a)

f'(0) = 0

(b)

f'(2) exists ⇔ g(2) = 0; then f'(2) = 0

(c)

g(x) = |x−2| (Product Rule needs both factors differentiable)

Tam çözüm

(a) $x=0$ : $|f(0)|\le0$ ⇒ $f(0)=0$ . Sonra
$\Big|\frac{f(h)-f(0)}{h}\Big|=\frac{|f(h)|}{|h|}\le|h|\to0,$
sıkıştırma (Squeeze Theorem) ⇒ $f'(0)=0$ .

(b) $f(2)=0$ . $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{|h|}{h}\,g(2+h)$ . $g$ sürekli ⇒ $g(2+h)\to g(2)$ . Sağdan ( $\frac{|h|}{h}=1$ ) limit $g(2)$ , soldan ( $-1$ ) limit $-g(2)$ . Eşit ⇔ $g(2)=-g(2)$ ⇔ $g(2)=0$ ; o zaman $\boxed{f'(2)=0}$ .

(c) Product Rule iki çarpanın da $2$ 'de türevlenebilir olmasını ister; $|x-2|$ zaten $2$ 'de türevlenemez ( $g$ de olmayabilir). Örnek: $g(x)=|x-2|$ : sürekli, $g(2)=0$ , $2$ 'de köşe. O zaman $f(x)=(x-2)^2$ ve gerçekten $f'(2)=0$ .

Soru 22sınav ayarı

(a) [5 pts] Prove: if $f$ is differentiable at $x$ , then $f$ is continuous at $x$ .
(b) [8 pts] Using the definition of the derivative, prove the Product Rule $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ for $f,g$ differentiable at $x$ . Point out exactly where part (a) is used.
(c) [3 pts] Show by an example that the converse of (a) is false.

Cevapları göster

(a)

proof

(b)

proof (continuity of g used for g(x+h)→g(x))

(c)

|x| at 0

Tam çözüm

(a) $h\neq0$ için $f(x+h)-f(x)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h$ . Limit kurallarıyla $\lim_{h\to0}\big(f(x+h)-f(x)\big)=f'(x)\cdot0=0$ , yani $\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$ : sürekli.

(b) Ekle-çıkar $f(x)g(x+h)$ :
$\begin{aligned}&\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.\end{aligned}$
$h\to0$ : ilk kesir $\to f'(x)$ , son kesir $\to g'(x)$ . (a) burada: $g$ türevli ⇒ sürekli ⇒ $g(x+h)\to g(x)$ . Sonuç $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ .

(c) $f(x)=|x|$ : $0$ 'da sürekli, ama $\frac{|h|}{h}$ 'nin sağ/sol limitleri $1$ ve $-1$ ⇒ türevsiz.

Soru 23orta

Let $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}$ .

(a) [7 pts] Using the definition of the derivative, find $f'(x)$ for $x\gt0$ .
(b) [3 pts] Find the tangent line to $y=f(x)$ at $x=4$ .

Cevapları göster

(a)

f'(x) = −1/(2x^{3/2})

(b)

y = −x/16 + 3/4

Tam çözüm

(a) Önce payda eşitle, sonra eşlenik:
$\begin{aligned}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt x}}{h}&=\frac{\sqrt x-\sqrt{x+h}}{h\sqrt x\sqrt{x+h}}\\&=\frac{x-(x+h)}{h\sqrt x\sqrt{x+h}\,(\sqrt x+\sqrt{x+h})}\\&=\frac{-1}{\sqrt x\sqrt{x+h}\,(\sqrt x+\sqrt{x+h})}\\&\to\frac{-1}{x\cdot2\sqrt x}=-\frac{1}{2x^{3/2}}.\end{aligned}$
(General Power Rule ile $-\tfrac12x^{-3/2}$ ✓.)

(b) $f(4)=\tfrac12$ , $f'(4)=-\tfrac{1}{16}$ : $y=\tfrac12-\tfrac1{16}(x-4)$ , $\boxed{y=-\tfrac{x}{16}+\tfrac34}$ .

Soru 24öncelikli · orta

Sınav ikizi: 2019-20 Güz MT1 Q1c kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

[Do not use L'Hôpital's Rule.]

(a) [4 pts] $f$ is differentiable at $1$ with $f'(1)=4$ . Evaluate $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+2h)-f(1+5h)}{h}$ .
(b) [5 pts] $f$ is differentiable at $2$ with $f(2)=3$ , $f'(2)=1$ . Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x\,f(2)-2f(x)}{x-2}$ .
(c) [5 pts] Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^3-1}$ .
(d) [4 pts] Find $f$ and $a$ such that $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^{-3}-\frac18}{h}=f'(a)$ , and evaluate it.

Cevapları göster

(a)

−12

(b)

1

(c)

1/12

(d)

f(x)=x⁻³, a=2; −3/16

Tam çözüm

(a) Ekle-çıkar $f(1)$ : $2\cdot\frac{f(1+2h)-f(1)}{2h}-5\cdot\frac{f(1+5h)-f(1)}{5h}\to(2-5)\cdot4=\boxed{-12}$ .

(b) $xf(2)-2f(x)=(x-2)f(2)-2\big(f(x)-f(2)\big)$ . Böl:
$f(2)-2\,\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\to f(2)-2f'(2)=3-2=\boxed{1}.$

(c) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ :
$\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\cdot\frac{1}{x^2+x+1}\to\frac{1}{2\sqrt4}\cdot\frac13=\boxed{\tfrac1{12}}.$
(İlk çarpan $\sqrt{x+3}$ 'ün $1$ 'deki türevi.)

(d) $f(x)=x^{-3}$ , $a=2$ ( $f(2)=\tfrac18$ ✓): $f'(2)=-3\cdot2^{-4}=\boxed{-\tfrac3{16}}$ .

Soru 25orta

(a) [6 pts] Show that the graph of $y=(x^2-1)^{1/3}$ has vertical tangent lines at $x=1$ and $x=-1$ , and a horizontal tangent line at $x=0$ .
(b) [4 pts] Does the graph of $y=(x-1)^{2/3}+x$ have a tangent line at $x=1$ ?

Cevapları göster

(a)

vertical tangents x = ±1; horizontal tangent y = −1 at x = 0

(b)

No (cusp)

Tam çözüm

(a) Fonksiyon her yerde sürekli. $x=1$ : $(x^2-1)^{1/3}$ , $1+h$ 'de $\big(h(2+h)\big)^{1/3}=(2+h)^{1/3}h^{1/3}$ , böylece
$\frac{y(1+h)-0}{h}=(2+h)^{1/3}\,h^{-2/3}\to+\infty$
iki yandan da ( $h^{-2/3}\gt0$ ) ⇒ dikey teğet $x=1$ . $x=-1$ : $\big(h(h-2)\big)^{1/3}/h=(h-2)^{1/3}h^{-2/3}\to-\infty$ iki yandan ⇒ dikey teğet $x=-1$ .

$x=0$ : $y'=\tfrac13(x^2-1)^{-2/3}\cdot2x=0$ , $y(0)=-1$ ⇒ yatay teğet $y=-1$ .

(b) $\dfrac{h^{2/3}+h}{h}=h^{-1/3}+1\to+\infty$ ( $h\to0^+$ ), $-\infty$ ( $h\to0^-$ ). Zıt sonsuzlar (cusp) ⇒ teğet yok.

Diğer 3 ünite pakette.

Son 5 sınavın röntgeni, kalan güne göre plan, prova sınavı, günde 60 soruluk asistan. 999 TL, tek ödeme.

Tüm paketi gör