Gauss soğanı: bölge bölge E(r)

Simetri silindirik, bu yüzden Gauss yüzeyi eksenle aynı eksenli, yarıçapı $r$, uzunluğu $L$ olan bir silindir. Alan radyal, yüzey üzerinde büyüklüğü sabit. Kapaklarda $\vec E\perp d\vec A$ olduğu için akı yalnızca yan yüzeyden geçer.

(a)
$$\oint\vec E\cdot d\vec A=E(r)\,(2\pi rL)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$$

• $r\lt R$: $Q_{\text{enc}}=\rho\,\pi r^2L$
  $$E(r)\,2\pi rL=\frac{\rho\pi r^2L}{\epsilon_0}\;\Rightarrow\;E(r)=\frac{\rho r}{2\epsilon_0}$$
• $r\gt R$: $Q_{\text{enc}}=\rho\,\pi R^2L$
  $$E(r)\,2\pi rL=\frac{\rho\pi R^2L}{\epsilon_0}\;\Rightarrow\;E(r)=\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0r}$$
  Kontrol: $r=R$'de ikisi de $\rho R/2\epsilon_0$ veriyor. Sınırda yüzey yükü olmadığı için alan sürekli olmalıydı, öyle çıktı. $L$ de sadeleşti.

(b)
$$E\!\left(\tfrac R2\right)=\frac{\rho R}{4\epsilon_0},\qquad E(2R)=\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0(2R)}=\frac{\rho R}{4\epsilon_0}$$
İkisi eşit. İçeride alan $r$ ile doğrusal artar, dışarıda $1/r$ ile azalır. Genel olarak $E(R/n)=E(nR)$.

(c) Akı için integral yok, sadece içerideki yük:
$$\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}=\frac{\rho\pi R^2\ell}{\epsilon_0}$$

(d) $V(0)-V(3R)=\int_0^{3R}E\,dr$, bölge bölge:
$$\int_0^R\frac{\rho r}{2\epsilon_0}dr+\int_R^{3R}\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0r}dr=\frac{\rho R^2}{4\epsilon_0}+\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0}\ln3$$
$$V(0)-V(3R)=\frac{\rho R^2}{4\epsilon_0}\,(1+2\ln3)$$
Pozitif çıktı: alan dışa doğru, eksen daha yüksek potansiyelde.

Bu, 2024-25 Bahar S2 ile 2025-26 Bahar S3'ün aynı iskeletle yazılmış hali: küre + kalın kabuk, dört bölge. Gauss yüzeyi yarıçapı $r$ olan eş merkezli bir küre. Simetriden $\vec E$ radyal ve yüzey üzerinde sabit:
$$E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$$

(a)

• (i) $r\lt a$: $Q_{\text{enc}}=\rho\,\frac43\pi r^3$
  $$E\,4\pi r^2=\frac{4\pi\rho r^3}{3\epsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}$$
• (ii) $a\lt r\lt2a$: $Q_{\text{enc}}=Q_0=\frac43\pi a^3\rho$
  $$E=\frac{Q_0}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0r^2}$$
• (iii) $2a\lt r\lt3a$: iletkenin içi, elektrostatik dengede $E=0$.
• (iv) $r\gt3a$: $Q_{\text{enc}}=Q_0-3Q_0=-2Q_0$
  $$E=\frac{2Q_0}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{2\rho a^3}{3\epsilon_0r^2},\quad\text{radially inward}$$
  Kontrol: $r=a$'da (i) ve (ii) ikisi de $\rho a/3\epsilon_0$ veriyor, süreklilik tamam.

(b) (iii)'te $E=0$, demek ki o bölgedeki Gauss yüzeyi $Q_{\text{enc}}=0$ görüyor:
$$Q_0+q_{\text{iç}}=0\;\Rightarrow\;q_{\text{iç}}=-Q_0$$
$$q_{\text{dış}}=q_{\text{net}}-q_{\text{iç}}=-3Q_0-(-Q_0)=-2Q_0$$

(c)
$$V(0)-V(a)=\int_0^aE\,dr=\int_0^a\frac{\rho r}{3\epsilon_0}dr=\frac{\rho a^2}{6\epsilon_0}$$

(d) Alan (i)'de artıyor, (ii)'de azalıyor. Maksimum $r=a$'da: $E_{\max}=\rho a/3\epsilon_0$. Yarısı $\rho a/6\epsilon_0$. Her bölgeyi ayrı kontrol et:

• (i) $\frac{\rho r}{3\epsilon_0}=\frac{\rho a}{6\epsilon_0}\Rightarrow r=\frac a2$. Bölgede, geçerli.
• (ii) $\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0r^2}=\frac{\rho a}{6\epsilon_0}\Rightarrow r^2=2a^2\Rightarrow r=\sqrt2\,a$. $a\lt\sqrt2a\lt2a$, geçerli.
• (iii) $E=0$, olmaz.
• (iv) Bu bölgedeki en büyük alan $r=3a$'da: $\frac{2\rho a}{27\epsilon_0}\lt\frac{\rho a}{6\epsilon_0}$. Bölgede çözüm yok. ($r=2a$ cebirden çıkıyor ama (iv)'ün dışında kalıyor.)

Cevap: $r=a/2$ ve $r=\sqrt2\,a$.

Son 5 MT1'de $\rho$ hep düzgündü. Tarif değişmiyor; değişen tek şey 3. adım: $Q_{\text{enc}}$ artık çarpma değil, integral.

(a) Kalınlığı $dr'$ olan ince küresel kabuğun hacmi $dV=4\pi r'^2dr'$:
$$Q=\int_0^R\rho_0\frac{R}{r'}\,4\pi r'^2\,dr'=4\pi\rho_0R\int_0^Rr'\,dr'=2\pi\rho_0R^3$$

(b) Gauss küresi yarıçapı $r$, $E(r)\,4\pi r^2=Q_{\text{enc}}/\epsilon_0$.

• $r\lt R$:
  $$Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_0R\int_0^rr'\,dr'=2\pi\rho_0Rr^2$$
  $$E(r)=\frac{2\pi\rho_0Rr^2}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{\rho_0R}{2\epsilon_0}$$
• $r\gt R$:
  $$E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{\rho_0R^3}{2\epsilon_0r^2}$$
  İlginç olan: içerideki alan sabit, $r$'ye bağlı değil. $Q_{\text{enc}}\propto r^2$ büyüyor, $1/r^2$ ile tam sadeleşiyor. $r=R$'de iki ifade de $\rho_0R/2\epsilon_0$, süreklilik tamam.

(c) Süperpozisyon: kürenin alanına merkezdeki nokta yükün alanı eklenir (ikisi de radyal):
$$E(r)=\frac{\rho_0R}{2\epsilon_0}+\frac{q_c}{4\pi\epsilon_0r^2}$$
$$E\!\left(\tfrac R2\right)=0\;\Rightarrow\;\frac{\rho_0R}{2\epsilon_0}=-\frac{q_c}{4\pi\epsilon_0(R/2)^2}=-\frac{q_c}{\pi\epsilon_0R^2}$$
$$q_c=-\frac{\pi\rho_0R^3}{2}=-\frac Q4$$
İşaret mantıklı: dışa doğru alanı ancak negatif bir yük sıfırlayabilir.

(d)

• $r\lt R$:
  $$E(r)=\frac{\rho_0R}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{R^2}{4r^2}\right)$$
  Parantez $r$ ile kesin olarak artıyor, yalnızca $r=R/2$'de sıfır oluyor. Daha içeride alan içe, daha dışarıda dışa doğru.
• $r\gt R$: $Q_{\text{enc}}=Q+q_c=\frac34Q\neq0$, yani $E=\frac{3\rho_0R^3}{8\epsilon_0r^2}\neq0$.

Başka sıfır noktası yok.