vizekit

Bu ünite ücretsiz, kayıt yok. Paketin tamamı: 4 ünite, prova, asistan. 999 TL, iade hakkıyla.

Ünite 2 · PHYS 102 · ücretsiz

Gauss Yasası: Elektrik Akısı ve Simetrik Yük Dağılımları

Giancoli Ch. 22 · Gauss's Law: Electric Flux and Symmetric Charge Distributions

Son 5 MT1'in 4'ünde tam bir Gauss sorusu vardı (25–35 puan): Thomson atomu, yani düzgün küre içinde elektronlar (2024-25 Güz MT1), iletken küre + hacim yüklü yalıtkan kabuk (2024-25 Bahar MT1), ±ρ levha çifti (2025-26 Güz MT1), yalıtkan küre + iletken kabuk (2025-26 Bahar MT1). 2023-24 Bahar MT1'de ise Gauss, kondansatör sorusunun 15 puanlık parçasıydı (koaksiyel silindirler). Format çoğunlukla aynı: bölge bölge E(r), arkasından grafik, indüklenen yük ya da ΔV.

Bu ünite sınavda şu kalıp olarak gelir: Gauss soğanı: bölge bölge E(r) · 5/5 →

Tüm paketi gör Etkileşimli hali: işaretle, asistana sor PHYS 102 MT1 rehberi

Konu anlatımı videosu · 9:05

Videonun metni

PHYS 102 MT1. Son 5 sınavın 5'inde de Gauss var, 4'ünde tam soru olarak. Kılık değişir: koaksiyel silindir, Thomson atomu, küre + kabuk, iki kalın levha. 5 sınavın toplam puanının yaklaşık %22'si bu üniteden. Derse girmediysen sorun yok. Sıfırdan kuruyoruz, sonra iki sınav tarzı soru. Önce akı. Akı, bir yüzeyden ne kadar alan çizgisi geçtiğinin ölçüsü. Düz yüzey, düzgün alan: Φ = EA cos θ.

Dikkat: teta, alanla yüzeyin normali arasındaki açı. Yüzeyle değil. Yüzey eğriyse ya da alan değişiyorsa, parçalara böl, topla: integral. Kapalı yüzeyde normal hep dışarı. Çıkan çizgi artı, giren eksi akı. Bu yüzden düzgün alandaki kapalı kutudan net akı sıfır. Giren kadar çıkıyor. Şimdi tek yasa. Kapalı yüzeyden toplam akı = içerideki net yük / ε₀. Qencl sadece içerideki yük. Dışarıdaki yükler toplam akıya katkı yapmaz.

Ama integraldeki E, bütün yüklerin alanı. Dış yük akıyı değiştirmez, E'yi değiştirir. Deneme: nokta yük Q'nun etrafına r yarıçaplı küre çiz. Alan radyal, küre üstünde sabit. Sol taraf E · 4πr². Eşitle, E'yi çek: Coulomb yasası çıktı. Yasa hep doğru, ama E için simetri lazım. Sınavda üçü var: küre, silindir, düzlem. Kalemi alalım. Her Gauss sorusunda aynı dört adım, her biri kısmi puan. Bir: simetri cümlesini yaz. Due to spherical symmetry, E is radial.

İki: Gauss yüzeyini seç: eş merkezli küre, koaksiyel silindir ya da kutu. Üç: sol taraf. E · 4πr², E · 2πrL ya da 2EA. Dört: sağ taraf. Bölgeye göre Qencl'i yaz, E'yi çöz, yönünü söyle. Bölge listesi varsa, 3. ve 4. adımı her bölgede tekrarla. Küreden başla: E = Qencl / 4πε₀r². Düzgün dolu kürenin içinde sadece r'nin içindeki yük sayılır: (r/R)³.

Yerine koy: E = ρr / 3ε₀. İçeride r ile doğrusal artar. Yüzeyde tepe yapar, dışarıda nokta yük gibi 1/r² ile düşer. İnce kabuğun içi sıfır. Kalın kabukta iç boşluğun hacmini çıkar. ρ sabit değilse ρ · hacim yok. İnce kabuklara böl, integral al. Sonsuz silindirde Gauss yüzeyi, r yarıçaplı, L boylu koaksiyel silindir. Kapaklardan akı sıfır.

E · 2πrL = λencl L / ε₀. Yani E = λ / 2πε₀r. Dolu silindirin içinde E = ρr / 2ε₀. Kürede 3, silindirde 2. Sonsuz düzlemde yüzey bir kutu, pillbox. Akı iki kapaktan çıkar: E = σ / 2ε₀. Bu alan mesafeden bağımsız. Kalın levhada içeride ρz / ε₀, dışarıda sabit. Çok levha varsa her birini ayrı çöz, bölge bölge topla. Geçen güz tam buydu. İletkenlerde dört kural. Bir: malzemenin içinde alan sıfır.

İki: net yük yüzeyde. Gauss yüzeyini hemen altına çiz: E sıfır, yük sıfır. Üç: hemen dışarıda alan dik ve σ / ε₀. Yarısı değil, çünkü içeride alan yok. Dört: oyuğun içinde q yükü varsa, iç yüzeyde eksi q toplanır. İletkenin net yükü Q ise dışta Q + q kalır. Yük korunumu. q merkezde olmasa bile dış yüzey düzgün. Dış alan, q'nun yerini bilmez. Grafik şıkkı beş puan civarı. Kural bir: hacim yükü sınırında E süreklidir.

Kural iki: yüzey yükünden geçerken zıplar, σ / ε₀ kadar. İletkenin içi düz sıfır. Boşlukta küre 1/r², silindir 1/r ile düşer. Potansiyel farkı için E'yi bölge bölge integralle. İletkenin içi katkı vermez. Şimdi sınav formatı. 33 puan, 5 şık, ve yoğunluk sabit değil. Yarıçapı R olan yalıtkan küre. Yoğunluk ρ₀(1 − r/R): merkezde en büyük, yüzeyde sıfır. Sorulan: toplam yük, iki bölgede alan, en büyük alan, bir de grafik.

a şıkkı, 6 puan. ρ sabit değil, ρ · hacim yok. İnce kabuklarla integral. R koy: 1/3 − 1/4 = 1/12. Q = πρ₀R³ / 3. b şıkkı, 10 puan. Önce simetri: alan radyal, Gauss yüzeyi r yarıçaplı eş merkezli küre. Qencl'i koy, 4π'ler sadeleşir. E = (ρ₀/ε₀)(r/3 − r²/4R). c şıkkı, 5 puan. Dışarıda tüm yük içeride: E = ρ₀R³ / 12ε₀r². Kontrol: r = R'de ikisi de ρ₀R / 12ε₀. Süreklilik tuttu.

d şıkkı, 8 puan. Tepe içeride. Türevi sıfıra eşitle: r = 2R/3. Geri koy: Emax = ρ₀R / 9ε₀. Tepe yüzeyde değil. e şıkkı, 4 puan: grafik. Sıfırdan başla, 2R/3'te tepe yap. R'de zıplamadan ρ₀R / 12ε₀'a in, sonra 1/r² ile düş. 33'te 33. İkinci soru akıdan, 16 puan. Hesap yok, sadece Gauss kafası. a şıkkı, 6 puan: q yükü, kenarı a olan küpün merkezinde. Küpten ve tek yüzden akı soruluyor.

Toplam akı q / ε₀, boyut önemsiz. Altı yüz simetrik, her biri 1/6. b şıkkı, 10 puan. Şimdi yük bir köşede. Simetri bozuldu, ne yapacağız? Hile: bu küpten 8 tane birleştir, yük ortada kalsın. Büyük küpün 24 dış yüzü var. Akı yine q / ε₀, 24 yüze eşit dağılır. Köşeye değen üç yüz: alan yüzün içinde uzanıyor, akı sıfır. Değmeyen üç yüzün her biri q / 24ε₀. Toplam 1/8. 16'da 16.

Şimdi puan kaybettiren üç tuzak. Bir: katsayı. Dolu silindirin içine ρr / 3ε₀ yazarsan yanlış. Doğrusu ρr / 2ε₀. Küre 3, silindir 2, levha 1. İki: iletken yüzeyine σ / 2ε₀ yazmak. İçeride alan yok, tek kapak: σ / ε₀. Üç: grafikte her sınırda zıplamak. Hacim yükü sınırında E sürekli, sadece yüzey yükünde zıplar.

30 saniyede özet. Akı, E · dA integrali. Kapalı yüzeyde normal dışarı. Gauss: toplam akı = Qencl / ε₀. Simetri, yüzey, sol taraf, sağ taraf. İletkende alan sıfır, iç yüzeyde −q, dışta Q + q. ρ sabit değilse integral. Ünitenin tamamı ve benzer sorular vize.ozai.info'da. Sınavda görüşürüz.

1. Elektrik akısı (electric flux): alandan kaç çizgi geçiyor? (Giancoli §22‑1)

Akı (electric flux), bir yüzeyden "ne kadar alan geçtiğinin" ölçüsü. Düz yüzey ve düzgün alan için:

$\Phi_E = \vec E\cdot\vec A = EA\cos\theta$

Burada $\theta$ , $\vec E$ ile yüzeyin normali arasındaki açı; yüzeyin kendisiyle arasındaki açı değil.

Kitap aynı şeyi iki gözle yazar: $\Phi_E = E_\perp A = E A_\perp$ . $E_\perp = E\cos\theta$ alanın yüzeye dik bileşeni; $A_\perp = A\cos\theta$ ise alanın alana dik izdüşümü (yüzeyin alana "gösterdiği yüz"). Alan vektörü $\vec A$ : büyüklüğü $A$ , yönü yüzeye dik. Sezgi: alan çizgileri öyle çizilir ki birim dik alandan geçen çizgi sayısı $E$ ile orantılı, yani $\Phi_E \propto$ yüzeyden geçen çizgi sayısı. Eğri yüzey ya da düzgün olmayan alan için yüzeyi küçük $\Delta\vec A_i$ parçalarına böl, $\sum \vec E_i\cdot\Delta\vec A_i$ topla, limitte integral olur. Genel hâli:

$\Phi_E = \int \vec E\cdot d\vec A$

Kapalı yüzeyde (closed surface) normal her zaman dışarı bakar. Yani dışarı çıkan alan çizgisi $+$ , içeri giren $-$ akı verir. Birim: $\mathrm{N\,m^2/C}$ .

Şunu kafana kazı: düzgün alanın içine koyduğun kapalı bir kutudan net akı sıfır. Kaç çizgi giriyorsa o kadarı çıkıyor.

2. Gauss yasası (Gauss's law): içerideki yük, toplam akı (Giancoli §22‑2)

$\oint \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{encl}}}{\varepsilon_0}$

$Q_{\text{encl}}$ : Gauss yüzeyinin (Gaussian surface) içinde kalan net yük. Dışarıdaki yükler toplam akıya katkı yapmaz.
Ama dikkat: integralin içindeki $\vec E$ , tüm yüklerin (içerdeki + dışarıdaki) toplam alanı. Dıştaki yük akıyı değiştirmez, yüzeydeki $\vec E$ 'yi değiştirir.
Yasa her kapalı yüzey için doğru. $E$ 'yi hesaplamaya yaraması için simetri lazım: yüzey üstünde $|\vec E|$ sabit olacak, $\vec E \parallel d\vec A$ (ya da $\perp$ ) olacak.

Üç simetri var, sınavda başka gelmiyor: küresel (spherical), silindirik (cylindrical, sonsuz uzun), düzlemsel (planar, sonsuz düzlem/levha).

Coulomb ile bağ (§22‑2, türetme sorulabilir): Nokta yük $Q$ 'yu merkeze alan $r$ yarıçaplı küre çiz. Simetriden $\vec E$ radyal ve her noktada aynı büyüklükte, $\vec E\parallel d\vec A$ : $\begin{aligned}&\oint \vec E\cdot d\vec A = E(4\pi r^2) = Q/\varepsilon_0\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}.\end{aligned}$ Yani Coulomb yasası Gauss'tan çıkıyor. Tersi de doğru: Coulomb alanını küre üstünde integralle, $Q/\varepsilon_0$ bulursun; şekli bozuk bir yüzeyden de aynı sayıda çizgi geçtiği için akı yine $Q/\varepsilon_0$ . Birden çok yük varsa her birinin akısı toplanır $\Rightarrow$ $Q_{\text{encl}} = \sum Q_i$ . $\varepsilon_0$ 'lı yazımın sebebi de bu: $k$ ile yazsan $\oint \vec E\cdot d\vec A = 4\pi k\,Q_{\text{encl}}$ olurdu, daha çirkin.

Kitabın klasik kavram tuzağı: toplam akı sıfırsa yüzeyin üstünde $\vec E$ sıfır olmak zorunda değil (düzgün alandaki kutu). Toplam akıyı biliyorsan içerdeki net yükü bilirsin, dağılımını değil.

3. Puan getiren 4 adımlı tarif (Giancoli §22‑3)

Hocalar çözümde şunları görmek istiyor, her adım kısmi puan:

Simetri cümlesi: "Due to spherical symmetry, $\vec E$ is radial and $|\vec E|$ depends only on $r$ ."
Gauss yüzeyi (Gaussian surface) seç: yük dağılımıyla eş merkezli küre / koaksiyel silindir (yarıçap $r$ , boy $L$ ) / düzleme dik silindirik kutu (pillbox, alan $A$ ). Yüzeyi değerlendirmek istediğin noktadan geçir.
Sol taraf: $\oint \vec E\cdot d\vec A = E\,(4\pi r^2)$ ya da $E\,(2\pi r L)$ ya da $2EA$ (ya da $EA$ , bir yüz alansız bölgedeyse).
Sağ taraf: $Q_{\text{encl}}$ 'yi bölgeye göre yaz, eşitle, $E$ 'yi çöz. Yönü de söyle (radyal dışa/içe: radially outward/inward, $\pm\hat k$ ).

Her bölge için 3. ve 4. adımı ayrı ayrı tekrarla. Sınavdaki "(a) $r\lt R$ , (b) $R\lt r\lt 2R$ …" yapısı tam bu.

4. Küreler: düzgün, kabuk ve ρ(r) (Giancoli §22‑3; Örn. 22-3, 22-4, 22-5)

Küresel Gauss yüzeyi (Gaussian surface) için hep $E = \frac{Q_{\text{encl}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ . Bütün iş $Q_{\text{encl}}$ 'de.

Düzgün dolu küre ( $\rho$ sabit, toplam $Q$ , yarıçap $R$ ):
$\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = Q\frac{r^3}{R^3} \Rightarrow E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\\ &\quad (r\lt R)\end{aligned}$
İçeride lineer artar, yüzeyde tepe yapar, dışarıda $1/r^2$ düşer.

İnce kabuk (yük yüzeyde): içinde $E=0$ , dışında nokta yük gibi.

Kalın kabuk ( $a\lt r\lt b$ , düzgün $\rho$ ): $Q_{\text{encl}} = \rho\,\tfrac43\pi(r^3-a^3)$ . Hacmi çıkarmayı unutma.

Düzgün olmayan $\rho(r)$ : $\rho$ sabit değilse $\rho V$ YAZAMAZSIN. İnce kabuklara böl ve topla:
$Q_{\text{encl}}(r) = \int_0^r \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr'$
Örnek: $\rho = Ar^n \Rightarrow Q_{\text{encl}} = \frac{4\pi A r^{n+3}}{n+3}$ . Özel durum $\rho = A/r$ : $Q_{\text{encl}} = 2\pi A r^2$ , yani içeride $E = A/(2\varepsilon_0)$ sabit.

5. Silindirler ve düzlemler (Giancoli §22‑3; Örn. 22-6, 22-7)

Silindir (sonsuz uzun, Gauss silindiri (Gaussian cylinder) yarıçap $r$ , boy $L$ ; kapaklardan akı sıfır çünkü $\vec E$ radyal):
$E\,(2\pi r L) = \frac{\lambda_{\text{encl}} L}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\lambda_{\text{encl}}}{2\pi\varepsilon_0 r}$

Çizgi yük / ince silindirik kabuk dışı: $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$ .
Düzgün dolu silindir içi: $\lambda_{\text{encl}} = \rho\pi r^2 \Rightarrow E = \rho r/(2\varepsilon_0)$ (kürede 3, silindirde 2; karıştırma).
$\rho(r)$ ise: $\lambda_{\text{encl}} = \int_0^r \rho\,2\pi r'\,dr'$ .

Sonsuz düzlem (yüzey yük $\sigma$ , silindirik kutu (pillbox) iki yüzden çıkar): $2EA = \sigma A/\varepsilon_0 \Rightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , mesafeden bağımsız.

Kalın levha ( $-d\lt z\lt d$ , düzgün $\rho$ ): simetriden $E(0)=0$ . İçeride $E = \rho z/\varepsilon_0$ , dışarıda $\rho d/\varepsilon_0$ , sabit.

Birden çok düzlem/levha varsa: her birinin alanını ayrı yaz, bölge bölge vektörel topla (superposition). Zıt yüklü eşit iki levhada dış bölgede alanlar birbirini götürür: 2025-26 Güz MT1 tam buydu.

6. İletkenler ve oyuklar (cavity) (Giancoli §22‑3; Örn. 22-8, 22-9)

Elektrostatik dengedeki iletken (conductor) için dört kural:

İletkenin malzemesinin içinde $\vec E = 0$ .
Net yük yüzeyde oturur; iç hacimde $\rho = 0$ .
Yüzeyin hemen dışında alan yüzeye dik ve $E = \sigma/\varepsilon_0$ (düzlemdeki $\sigma/2\varepsilon_0$ değil, çünkü iletkenin içinde alan yok).
İletkenin içinde, oyuğu çevreleyen bir Gauss yüzeyi (Gaussian surface) çiz: $E=0 \Rightarrow Q_{\text{encl}} = 0$ .

Kural 2'nin ispatı (sınavda "show that" olarak gelir): Gauss yüzeyini iletkenin yüzeyinin hemen altına, malzemenin içine çiz. Her noktada $E=0 \Rightarrow \oint\vec E\cdot d\vec A = 0 \Rightarrow Q_{\text{encl}}=0$ . Yük içeride olamıyorsa tek yeri yüzey. Kural 3 de bir silindirik kutuyla (pillbox) çıkar: bir kapağı iletkenin dışında, öbürü içinde; akı yalnız dış kapaktan geçer, $EA = \sigma A/\varepsilon_0$ .

$\sigma/\varepsilon_0$ mı $\sigma/2\varepsilon_0$ mı? İnce yalıtkan levha alanı iki yana salar, silindirik kutunun iki kapağından akı çıkar $\Rightarrow \sigma/2\varepsilon_0$ . İletkende alan sadece dışarıya var, tek kapak $\Rightarrow \sigma/\varepsilon_0$ . Birbirine yakın, $\pm Q$ yüklü iki büyük paralel iletken plaka: yükler iç yüzlere toplanır, aradaki alan düzgün $E = \sigma/\varepsilon_0$ , dışarıda sıfır.

Oyuk içinde $q$ varsa: iç yüzeyde $-q$ indüklenir. İletkenin net yükü $Q$ ise dış yüzeyde $Q + q$ kalır (yük korunumu).

Oyuktaki $q$ merkezde değilse: iç yüzeydeki $-q$ düzgün dağılmaz, ama dış yüzey (küresel ise) yine düzgün. Dışarıdaki alan $k(Q+q)/r^2$ ; $q$ 'nun oyuk içindeki yerinden habersiz. İletken, içeriyi dışarıdan "perdeler".

$q$ oyuğun duvarına değerse: iç yüzeydeki $-q$ ile nötrleşir; oyukta alan sıfır olur, dış yüzeyde $Q+q$ değişmez.

7. E(r) grafiği: süreklilik kuralları (Giancoli §22‑3)

Grafik sorusu ("Sketch $E$ vs $r$ ") 5 puan civarı, ama kural bilmeyen yanlış çizer:

Hacim yükü sınırında $E$ süreklidir (yükü olan sonsuz ince katman yok). Düzgün kürenin yüzeyinde iç ve dış formül aynı değeri vermeli; çözümünü bununla kontrol et.
Yüzey yükünden geçerken $E$ zıplar: $\Delta E = \sigma/\varepsilon_0$ . İletken yüzeyleri ve ince kabuklar zıplama noktası.
İletkenin içi: düz sıfır çizgi.
Şekiller: içeride $\propto r$ (düzgün küre/silindir), boşlukta küre için $\propto 1/r^2$ , silindir için $\propto 1/r$ , düzlem için sabit.
$\rho(r)$ varsa $E$ 'nin maksimumu sınırda olmayabilir: $dE/dr = 0$ çöz.

Potansiyel farkı genelde bir sonraki şık: $V(a) - V(b) = \int_a^b E\,dr$ (alan $a$ 'dan $b$ 'ye doğru ise). Bölge bölge integral al; iletken içinde katkı sıfır.

Formül kartı

Electric flux (Giancoli Eq. 22-1, 22-2): $\begin{aligned}&\Phi_E = EA\cos\theta = E_\perp A = EA_\perp\\ &\quad = \vec E\cdot\vec A\ \text{(uniform)},\\ &\Phi_E = \int\vec E\cdot d\vec A\end{aligned}$
Gauss's law (Giancoli Eq. 22-4): $\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{encl}}}{\varepsilon_0}$
Point charge from Gauss (Coulomb's law, §22‑2): $E(4\pi r^2)=\frac{Q}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$
Constants (no calculator): $\begin{aligned}&k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2},\\ &\frac{1}{\varepsilon_0} = 4\pi k \approx 36\pi\times10^9\end{aligned}$
Spherical Gaussian surface: $\begin{aligned}&E(r) = \frac{Q_{\text{encl}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\\ &Q_{\text{encl}} = \int_0^r\rho(r')\,4\pi r'^2dr'\end{aligned}$
Uniform solid sphere (inside): $E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}=\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$
Cylindrical Gaussian surface: $\begin{aligned}&E(r) = \frac{\lambda_{\text{encl}}}{2\pi\varepsilon_0 r},\\ &\lambda_{\text{encl}} = \int_0^r\rho(r')\,2\pi r'dr'\end{aligned}$
Uniform solid cylinder (inside): $E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$
Infinite nonconducting sheet (Giancoli Ex. 22-7): $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Infinite slab, thickness 2d, uniform ρ: $\begin{aligned}&E = \frac{\rho z}{\varepsilon_0}\ (|z|<d),\\ &E = \frac{\rho d}{\varepsilon_0}\ (|z|>d)\end{aligned}$
Just outside a conductor (Giancoli Eq. 22-5): $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\ \text{perpendicular to surface}$
Jump across a surface charge: $E_{\perp,\text{out}}-E_{\perp,\text{in}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
Potential difference from E(r): $V(a)-V(b)=\int_a^b\vec E\cdot d\vec r$
Two closely spaced parallel conducting plates ±Q (§22‑3): $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\ \text{between},\quad E=0\ \text{outside}$

Puan kaybettiren tuzaklar

$\rho$ sabit değilken $Q_{\text{encl}} = \rho \cdot \tfrac43\pi r^3$ yazmak. $\rho(r)$ varsa integral şart: $\int \rho\,4\pi r^2dr$ . Bu hata tek başına şıkkın tamamını götürür.
Kalın kabukta ( $a\lt r\lt b$ ) $Q_{\text{encl}}$ 'ye tüm kabuğun yükünü koymak. Sadece $a$ ile $r$ arasındaki kısım içeride: $\rho\tfrac43\pi(r^3-a^3)$ , üstüne de daha içteki yükler.
Silindir için $\rho r/(3\varepsilon_0)$ , küre için $\rho r/(2\varepsilon_0)$ yazmak. Küre 3, silindir 2, levha 1 ( $\rho z/\varepsilon_0$ ).
İletken kabuk sorusunda iç ve dış yüzey yüklerini ayırmamak. İç yüzey $= -Q_{\text{inside}}$ , dış yüzey $= Q_{\text{net,conductor}} + Q_{\text{inside}}$ . Soru çoğu zaman bunu ayrıca soruyor.
"Dışarıdaki yük akıya katkı yapmıyor, o hâlde yüzeydeki $\vec E$ 'ye de etkisi yok" demek. Yanlış: akı değişmez, $\vec E$ değişir. Simetri bozulursa Gauss'la $E$ bulunmaz.
Düzlem için $\sigma/\varepsilon_0$ , iletken yüzeyi için $\sigma/2\varepsilon_0$ yazmak (tersi doğru). İletkenin içinde alan yok, silindirik kutunun (pillbox) tek yüzünden akı çıkıyor.
Simetri cümlesini ve Gauss yüzeyinin (Gaussian surface) tarifini atlamak. "Spherical Gaussian surface of radius $r$ , concentric with…" yazmazsan puanlama anahtarındaki (rubric) ilk puanlar gider.
Grafikte $E$ 'yi her sınırda zıplatmak. Hacim yükü sınırında $E$ süreklidir; yalnızca yüzey yükünde (iletken yüzeyi, ince kabuk) $\sigma/\varepsilon_0$ kadar zıplar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1Non-uniform sphere: ρ(r) = ρ₀(1 − r/R)

A nonconducting solid sphere of radius $R$ has volume charge density
$\rho(r) = \rho_0\left(1 - \frac{r}{R}\right),\qquad 0 \le r \le R,$
where $\rho_0\gt 0$ is a constant and $r$ is the distance from the center. There is no other charge.

(a) [6 Pts.] Find the total charge $Q$ of the sphere in terms of $\rho_0$ and $R$ .
(b) [10 Pts.] Find the magnitude of the electric field for $r\lt R$ .
(c) [5 Pts.] Find the magnitude of the electric field for $r\gt R$ .
(d) [8 Pts.] At what radius is the field strongest, and what is the maximum field?
(e) [4 Pts.] Sketch $E(r)$ .

Adım adım çözüm

Simetri: Yük sadece $r$ 'ye bağlı, yani küresel simetri (spherical symmetry). $\vec E$ radyal, $|\vec E|=E(r)$ . Gauss yüzeyi (Gaussian surface): yarıçapı $r$ olan eş merkezli küre $\Rightarrow \oint\vec E\cdot d\vec A = E\,4\pi r^2$ .

(a) $\rho$ sabit değil, o yüzden ince kabuklara bölüp integral alıyoruz:
$\begin{aligned}&Q_{\text{encl}}(r) = \int_0^r \rho_0\Big(1-\frac{r'}{R}\Big)4\pi r'^2\,dr'\\ &\quad = 4\pi\rho_0\Big(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R}\Big)\end{aligned}$
$r=R$ koy: $Q = 4\pi\rho_0R^3\big(\tfrac13-\tfrac14\big) = \frac{\pi\rho_0R^3}{3}$ .

(b) Gauss:
$\begin{aligned}&E\,4\pi r^2 = \frac{4\pi\rho_0}{\varepsilon_0}\Big(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R}\Big)\\ &\quad \Rightarrow E(r) = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Big(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R}\Big)\end{aligned}$

(c) Tüm yük içeride: $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0r^2}$ .

Kontrol: $r=R$ 'de (b) $\rho_0R/(12\varepsilon_0)$ , (c) de $\rho_0R/(12\varepsilon_0)$ . Süreklilik tuttu (yüzey yükü yok, zıplama olmamalı).

(d) Dışarıda $E$ azalıyor, maksimum içeride. $\frac{dE}{dr} = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Big(\frac13 - \frac{r}{2R}\Big) = 0 \Rightarrow r = \frac{2R}{3}$ .
$\begin{aligned}&E_{\max} = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Big(\frac{2R}{9} - \frac{4R^2/9}{4R}\Big)\\ &\quad = \frac{\rho_0R}{9\varepsilon_0}\end{aligned}$
Dikkat: maksimum yüzeyde değil. Yoğunluk dışa doğru azaldığı için tepe içeri kayıyor.

(e) $r=0$ 'da sıfırdan başlar, parabol gibi yükselir, $2R/3$ 'te tepe $\rho_0R/9\varepsilon_0$ , $R$ 'de $\rho_0R/12\varepsilon_0$ 'a iner (sürekli), sonra $1/r^2$ ile düşer.

(a) $Q=\pi\rho_0R^3/3$ (b) $E=\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Big(\frac r3-\frac{r^2}{4R}\Big)$ (c) $E=\frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0r^2}$ (d) $r=2R/3$ , $E_{\max}=\rho_0R/(9\varepsilon_0)$ , all radially outward. (e) $E$ rises from $0$ at the center to a peak $\rho_0R/(9\varepsilon_0)$ at $r=2R/3$ , falls continuously to $\rho_0R/(12\varepsilon_0)$ at $r=R$ , then decays as $1/r^2$ .

Örnek 2Charged insulating cylinder inside a conducting cylindrical shell

A very long nonconducting solid cylinder of radius $a$ carries a uniform volume charge density $\rho\gt 0$ . It is coaxial with a long conducting cylindrical shell of inner radius $b$ and outer radius $c$ ( $a\lt b\lt c$ ). The conducting shell carries a net charge per unit length $\lambda_s = -2\pi a^2\rho$ . A cross section is shown.

(a) [16 Pts.] Find the electric field (magnitude and direction) as a function of the distance $r$ from the axis for $r\lt a$ , $a\lt r\lt b$ , $b\lt r\lt c$ , $r\gt c$ .
(b) [8 Pts.] Find the surface charge densities on the inner ( $r=b$ ) and outer ( $r=c$ ) surfaces of the conductor.
(c) [8 Pts.] Find the potential difference $V(0) - V(b)$ between the axis and the inner surface of the shell.
(d) [4 Pts.] Sketch $E(r)$ .

Adım adım çözüm

Simetri: Sonsuz uzun, eksene göre simetrik $\Rightarrow$ $\vec E$ radyal, $E=E(r)$ . Gauss yüzeyi (Gaussian surface): yarıçap $r$ , boy $L$ koaksiyel silindir. Kapaklarda $\vec E\perp d\vec A$ , akı sıfır. $\oint\vec E\cdot d\vec A = E\,2\pi rL$ .

Yalıtkanın (insulator) birim boydaki yükü: $\lambda_{\text{cyl}} = \rho\pi a^2$ .

(a)

$r\lt a$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = \rho\pi r^2L\\ &\quad \Rightarrow E\,2\pi rL = \rho\pi r^2L/\varepsilon_0\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0},\end{aligned}$ dışa doğru.
$a\lt r\lt b$ : $Q_{\text{encl}} = \rho\pi a^2L \Rightarrow E = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r}$ , dışa doğru.
$b\lt r\lt c$ : iletkenin içi, $E=0$ .
$r\gt c$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = (\rho\pi a^2 - 2\pi a^2\rho)L\\ &\quad = -\rho\pi a^2L \Rightarrow E = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r},\end{aligned}$ içe doğru (radially inward).

(b) İletkenin içinden geçen Gauss silindirinde $E=0$ , yani $Q_{\text{encl}}=0$ . İç yüzey yükü yalıtkanı nötrlemeli: $\lambda_b = -\rho\pi a^2$ .
$\sigma_b = \frac{\lambda_b}{2\pi b} = -\frac{\rho a^2}{2b}$
Dış yüzey: kalan yük, $\begin{aligned}&\lambda_c = \lambda_s - \lambda_b = -2\pi a^2\rho + \pi a^2\rho\\ &\quad = -\pi a^2\rho.\end{aligned}$
$\sigma_c = \frac{\lambda_c}{2\pi c} = -\frac{\rho a^2}{2c}$
Kontrol: $r\gt c$ alanı $\sigma_c/\varepsilon_0 \cdot (c/r)$ ile uyumlu, işaret negatif $\Rightarrow$ içe.

(c) Alan dışa doğru, o yüzden eksen daha yüksek potansiyelde:
$\begin{aligned}&V(0)-V(b)\\ &\quad = \int_0^a\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}dr + \int_a^b\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0r}dr\\ &\quad = \frac{\rho a^2}{4\varepsilon_0} + \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac ba\end{aligned}$

(d) $0$ 'dan lineer artar, $r=a$ 'da tepe $\rho a/(2\varepsilon_0)$ (sürekli), $1/r$ ile düşer, $r=b$ 'de sıfıra zıplar (iç yüzey yükü), $b$ – $c$ arası sıfır, $r=c$ 'de yeniden zıplar ve $1/r$ ile azalır (yön içe; işaretli çizersen negatif tarafta).

(a) $\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$ out; $\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0r}$ out; $0$ ; $\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0r}$ inward. (b) $\sigma_b=-\frac{\rho a^2}{2b}$ , $\sigma_c=-\frac{\rho a^2}{2c}$ . (c) $V(0)-V(b)=\frac{\rho a^2}{4\varepsilon_0}\Big(1+2\ln\frac ba\Big)$ . (d) linear rise to $\rho a/(2\varepsilon_0)$ at $r=a$ , $1/r$ decay, jump to $0$ at $r=b$ , zero in $b\lt r\lt c$ , jump at $r=c$ to $\rho a^2/(2\varepsilon_0c)$ (inward), then $1/r$ decay.

Örnek 3Off-center charge in the cavity of a conducting shell

A thick conducting spherical shell has inner radius $a$ and outer radius $b$ , and carries a net charge $+3q$ ( $q\gt 0$ ). A point charge $-q$ is held inside the cavity at a distance $a/2$ from the center, as shown.

(a) [8 Pts.] Find the total charge on the inner surface and on the outer surface of the shell.
(b) [6 Pts.] Is the charge on the inner surface uniformly distributed? On the outer surface? If uniform, give its surface charge density.
(c) [6 Pts.] Find the electric field (magnitude and direction) at a distance $r\gt b$ from the center.
(d) [4 Pts.] What is the electric flux through a concentric spherical surface of radius $(a+b)/2$ ?
(e) [6 Pts.] The point charge is now moved until it touches the inner wall of the cavity. After equilibrium is reached, find the charges on the inner and outer surfaces, and the electric field inside the cavity and for $r\gt b$ .

Adım adım çözüm

(a) Gauss yüzeyini (Gaussian surface) iletkenin malzemesinin içine, yarıçap $a\lt r\lt b$ koy. Orada $E=0 \Rightarrow \oint\vec E\cdot d\vec A = 0 \Rightarrow Q_{\text{encl}}=0$ .
İçeride: $-q$ + iç yüzey yükü $= 0 \Rightarrow Q_{\text{inner}} = +q$ .
Yük korunumu: $\begin{aligned}&Q_{\text{inner}} + Q_{\text{outer}} = +3q\\ &\quad \Rightarrow Q_{\text{outer}} = +2q.\end{aligned}$

(b) İç yüzey: $-q$ merkezde değil, ona yakın taraf daha çok çekilir. $+q$ düzgün değil (yüke yakın bölgede daha yoğun).
Dış yüzey: iletken, iç bölgenin alanını dışarıdan perdeliyor. Dış yüzey sadece kendi yüküne bakıyor, küresel yüzeyde düzgün dağılır:
$\sigma_{\text{outer}} = \frac{2q}{4\pi b^2} = \frac{q}{2\pi b^2}$

(c) Küresel Gauss yüzeyi $r\gt b$ : $Q_{\text{encl}} = -q + 3q = 2q$ . Dış dağılım küresel simetrik olduğundan
$\begin{aligned}&E = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\\ &\quad = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0r^2},\ \text{radially outward}\end{aligned}$
Yükün oyuktaki yeri bu cevaba girmiyor.

(d) Yüzey iletkenin içinde, $Q_{\text{encl}}=0 \Rightarrow \Phi_E = 0$ .

(e) $-q$ duvara değince iç yüzeydeki $+q$ ile nötrleşir: $Q_{\text{inner}}=0$ . Toplam yük hâlâ $2q$ , hepsi dış yüzeyde: $Q_{\text{outer}}=+2q$ .
Oyukta yük kalmadı, iç yüzeyde de yük yok $\Rightarrow$ oyukta $E=0$ .
Dışarıda değişiklik yok: $E = q/(2\pi\varepsilon_0 r^2)$ , dışa doğru.

(a) inner $+q$ , outer $+2q$ . (b) inner: nonuniform; outer: uniform, $\sigma=q/(2\pi b^2)$ . (c) $E=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0r^2}$ outward. (d) $0$ . (e) inner $0$ , outer $+2q$ ; $E_{\text{cavity}}=0$ ; outside unchanged.

Örnek 4Charged slab plus a parallel charged sheet

An infinite nonconducting slab occupies $-d\lt z\lt d$ and carries a uniform volume charge density $\rho\gt 0$ . An infinite thin sheet with uniform surface charge density $\sigma = -2\rho d$ lies in the plane $z = 2d$ .

(a) [16 Pts.] Find the electric field $\vec E(z)$ in the regions $z\lt -d$ , $-d\lt z\lt d$ , $d\lt z\lt 2d$ , $z\gt 2d$ .
(b) [4 Pts.] Sketch $E_z(z)$ .
(c) [10 Pts.] Find the potential difference $V(-d) - V(2d)$ . Which point is at higher potential?

Adım adım çözüm

Süperpozisyon (superposition): önce levhayı, sonra düzlemi tek başına çöz, sonra bölge bölge topla.

Levha tek başına: Simetriden $E_z(0)=0$ ve $E_z(-z)=-E_z(z)$ . Silindirik kutu (pillbox): kesit $A$ , bir yüzü $z=0$ 'da (orada $E=0$ ), diğeri $z$ 'de.

$0\lt z\lt d$ : $E\,A = \rho Az/\varepsilon_0 \Rightarrow E_z = \rho z/\varepsilon_0$ .
$z\gt d$ : $E_z = \rho d/\varepsilon_0$ ; $z\lt -d$ : $E_z = -\rho d/\varepsilon_0$ (alan levhadan dışarı).

Düzlem tek başına: $|E| = |\sigma|/(2\varepsilon_0) = \rho d/\varepsilon_0$ , negatif yük olduğu için düzleme doğru: $z\lt 2d$ 'de $+\hat k$ , $z\gt 2d$ 'de $-\hat k$ .

(a) Topla:

$z\lt -d$ : $-\rho d/\varepsilon_0 + \rho d/\varepsilon_0 = 0$
$-d\lt z\lt d$ : $\rho z/\varepsilon_0 + \rho d/\varepsilon_0 = \frac{\rho(z+d)}{\varepsilon_0}$ , $+\hat k$
$d\lt z\lt 2d$ : $\rho d/\varepsilon_0 + \rho d/\varepsilon_0 = \frac{2\rho d}{\varepsilon_0}$ , $+\hat k$
$z\gt 2d$ : $\rho d/\varepsilon_0 - \rho d/\varepsilon_0 = 0$

Sağlama: birim alan başına toplam yük $2\rho d - 2\rho d = 0$ , yani sistem nötr; dış bölgelerde alan sıfır olması mantıklı (kondansatör gibi).

(b) $z\lt -d$ : sıfır. $-d$ 'den $d$ 'ye lineer artış $0 \to 2\rho d/\varepsilon_0$ (sürekli, hacim yükü). $d\lt z\lt 2d$ : sabit $2\rho d/\varepsilon_0$ . $z=2d$ 'de sıfıra zıplar ( $\Delta E = |\sigma|/\varepsilon_0 = 2\rho d/\varepsilon_0$ , tam tutuyor).

(c) Alan $+\hat k$ yönünde, yani yukarı çıkarken potansiyel düşer:
$\begin{aligned}&V(-d)-V(2d) = \int_{-d}^{2d}E_z\,dz\\ &\quad = \int_{-d}^{d}\frac{\rho(z+d)}{\varepsilon_0}dz + \frac{2\rho d}{\varepsilon_0}\cdot d\\ &\quad = \frac{2\rho d^2}{\varepsilon_0} + \frac{2\rho d^2}{\varepsilon_0} = \frac{4\rho d^2}{\varepsilon_0}\end{aligned}$
$z=-d$ daha yüksek potansiyelde.

(a) $0$ ; $\frac{\rho(z+d)}{\varepsilon_0}\hat k$ ; $\frac{2\rho d}{\varepsilon_0}\hat k$ ; $0$ . (b) $0$ for $z\lt -d$ , linear rise $0\to2\rho d/\varepsilon_0$ across the slab, constant $2\rho d/\varepsilon_0$ for $d\lt z\lt 2d$ , drop to $0$ at $z=2d$ . (c) $V(-d)-V(2d)=\frac{4\rho d^2}{\varepsilon_0}$ ; $z=-d$ is higher.

Örnek 5Flux through a cube and a hemisphere

(a) [6 Pts.] A point charge $q$ sits at the center of a cube of side $a$ . Find the electric flux through the whole cube and through one face.
(b) [10 Pts.] The charge is moved to one corner of the cube (it stays at the corner, as shown). Find the flux through each of the six faces.
(c) [9 Pts.] Remove the charge. A hemisphere of radius $R$ has its flat base on the $xy$ -plane and its curved surface in $z\gt 0$ . The region is filled with the uniform field $\vec E = E_0(2\hat\imath + 3\hat k)$ . Find the flux through the curved surface (normal pointing away from the center) and through the flat base (normal pointing in $-\hat k$ ).

Adım adım çözüm

(a) Gauss: toplam akı $q/\varepsilon_0$ , küp boyutundan bağımsız. Merkezde altı yüz simetrik: her biri $\frac{q}{6\varepsilon_0}$ .

(b) Hile: köşedeki yükü merkez yapacak şekilde 8 özdeş küp birleştir ( $2a$ kenarlı büyük küp). Büyük küpten akı $q/\varepsilon_0$ , onun 24 küçük dış yüzüne eşit dağılıyor: her biri $\frac{q}{24\varepsilon_0}$ .
Bizim küpün yüklü köşeye değen üç yüzü: alan çizgileri bu yüzlerin içinde uzanıyor ( $\vec E\perp d\vec A$ ), akı $0$ .
Değmeyen üç yüz: her biri $\frac{q}{24\varepsilon_0}$ . Toplam $3\cdot\frac{q}{24\varepsilon_0} = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ : yükün sadece 1/8'i bu küpün "içinde" sayılıyor, mantıklı.

(c) Kapalı yarımküre (eğri yüzey + taban) içinde yük yok $\Rightarrow$ toplam akı $0$ .
Taban: $d\vec A = -\hat k\,dA$ , düz ve alan düzgün: $\Phi_{\text{base}} = \vec E\cdot\vec A = -3E_0\pi R^2$ . $\hat\imath$ bileşeni tabana paralel, katkı yok.
Eğri yüzey: $\Phi_{\text{curved}} = 0 - \Phi_{\text{base}} = +3\pi R^2E_0$ .
Eğri yüzey üzerinde integral almaya gerek yok; kapalı yüzey + kolay parça, zor parçayı verir.

(a) $q/\varepsilon_0$ total, $q/(6\varepsilon_0)$ per face. (b) three faces touching the corner: $0$ ; other three: $q/(24\varepsilon_0)$ each. (c) curved: $+3\pi R^2E_0$ ; base: $-3\pi R^2E_0$ .

Sıra sende

Panik rotası: vaktin azsa önce bunlar: Soru 3, Soru 6, Soru 16, Soru 17, Soru 18, Soru 20.

Soru 1kolay

A uniform electric field $\vec E = (3.0\,\hat\imath + 4.0\,\hat k)\times10^3\ \mathrm{N/C}$ fills a region of space.

(a) [4 Pts.] Find the flux through a flat $2.0\ \mathrm m \times 0.50\ \mathrm m$ rectangle lying in the $xy$ -plane, with its normal along $+\hat k$ .
(b) [4 Pts.] The rectangle is rotated so that its unit normal becomes $(\hat\imath + \hat k)/\sqrt2$ . Find the new flux.
(c) [4 Pts.] A closed cubical box of side $1.0\ \mathrm m$ with faces perpendicular to the axes is placed in the field. Find the net flux through the box, and the total flux through the five faces other than the top face (normal $+\hat k$ ).

Cevapları göster

(a)

$4.0\times10^3\,\text{N·m}^2\text{/C}$

(b)

$3500\sqrt2 \approx 4.95\times10^3\,\text{N·m}^2\text{/C}$

(c)

$0$ ; $-4.0\times10^3\,\text{N·m}^2\text{/C}$

Tam çözüm

(a) $\begin{aligned}&\Phi_E = \vec E\cdot\vec A = E_zA\\ &\quad = (4.0\times10^3)(1.0)\\ &\quad = 4.0\times10^3\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$

(b) $\vec A = 1.0\,\frac{\hat\imath+\hat k}{\sqrt2}$ , $\begin{aligned}&\Phi_E = \frac{(3.0+4.0)\times10^3}{\sqrt2}\\ &\quad = 3500\sqrt2\\ &\quad \approx 4.95\times10^3\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$

(c) Kutunun içinde yük yok $\Rightarrow \Phi_{\text{net}} = 0$ . Üst yüz: $E_z \cdot 1 = 4.0\times10^3$ . Kalan beş yüz toplamı: $-4.0\times10^3\ \mathrm{N\,m^2/C}$ (alt yüzden giren akı; yan yüzlerde $x$ -bileşeninin giriş-çıkışı birbirini götürür).

Soru 2kolay

A closed Gaussian surface (not spherical) encloses two point charges $q_1 = +3.0\ \mathrm{nC}$ and $q_2 = -5.0\ \mathrm{nC}$ . A third charge $q_3 = +7.0\ \mathrm{nC}$ lies outside the surface. Use $1/\varepsilon_0 = 4\pi k$ with $k = 9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ .

(a) [5 Pts.] Find the net electric flux through the surface.
(b) [4 Pts.] Does $q_3$ change the electric field at points on the surface? Does it change the net flux? Explain briefly.
(c) [4 Pts.] $q_3$ is moved inside the surface. Find the new net flux.

Cevapları göster

(a)

$-72\pi \approx -226\,\text{N·m}^2\text{/C}$

(b)

changes E on the surface, not the net flux

(c)

$180\pi \approx 565\,\text{N·m}^2\text{/C}$

Tam çözüm

(a) $\begin{aligned}&\Phi_E = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0\\ &\quad = (-2.0\times10^{-9})(36\pi\times10^9)\\ &\quad = -72\pi \approx -226\ \mathrm{N\,m^2/C}\end{aligned}$ (net akı içe doğru).

(b) $q_3$ yüzeydeki $\vec E$ 'yi değiştirir (yüzeyin her noktasında alan tüm yüklerin toplamı). Ama net akıyı değiştirmez: $q_3$ 'ten çıkan her çizgi yüzeye bir yerden girip başka yerden çıkıyor, katkısı sıfır.

(c) $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = +5.0\ \mathrm{nC} \Rightarrow \Phi_E = 5\times36\pi\\ &\quad = 180\pi \approx 565\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$

Soru 3öncelikli · orta

A nonconducting solid sphere of radius $R$ carries a total charge $Q\gt 0$ distributed uniformly through its volume.

(a) [10 Pts.] Using Gauss's law, find $E(r)$ for $r\lt R$ and $r\gt R$ . State your Gaussian surface.
(b) [4 Pts.] Find the ratio $E(R/2)/E(2R)$ .
(c) [5 Pts.] Outside the sphere, at what distance $r$ is the field equal to $E(R/2)$ ?
(d) [6 Pts.] Find $V(0) - V(R)$ .

Cevapları göster

(a)

$E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ inside, $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ outside

(b)

$2$

(c)

$r = \sqrt2\,R$

(d)

$\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R}$

Tam çözüm

(a) Küresel simetri (spherical symmetry), eş merkezli küresel Gauss yüzeyi (Gaussian surface), yarıçap $r$ .

$r\lt R$ : $Q_{\text{encl}} = Q r^3/R^3 \Rightarrow E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ .
$r\gt R$ : $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ . İkisi de dışa doğru.

(b) $E(R/2) = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0R^2}$ , $E(2R) = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_0R^2}$ $\Rightarrow$ oran $2$ .

(c) $\begin{aligned}&\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0R^2} \Rightarrow r^2 = 2R^2\\ &\quad \Rightarrow r = \sqrt2R.\end{aligned}$

(d) $\begin{aligned}&V(0)-V(R) = \int_0^R \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}dr\\ &\quad = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0R}.\end{aligned}$ Merkez daha yüksek potansiyelde.

Soru 4orta

Sınav ikizi: 2023-24 Bahar MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A very long thin wire with uniform linear charge density $+\lambda$ lies along the $z$ -axis. It is surrounded by a coaxial, very long, thin nonconducting cylindrical shell of radius $R$ carrying a uniform surface charge density $\sigma$ .

(a) [8 Pts.] Find the electric field for $r\lt R$ and $r\gt R$ (in terms of $\lambda$ , $\sigma$ , $R$ , $r$ ).
(b) [5 Pts.] Find $\sigma$ such that the field vanishes everywhere outside the shell.
(c) [5 Pts.] For the $\sigma$ of part (b), what is the jump in $E$ when crossing $r=R$ ? Check it against $\sigma/\varepsilon_0$ .

Cevapları göster

(a)

$\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ for $r\lt R$ ; $\frac{\lambda+2\pi R\sigma}{2\pi\varepsilon_0 r}$ for $r\gt R$

(b)

$\sigma = -\frac{\lambda}{2\pi R}$

(c)

$\Delta E = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

Tam çözüm

(a) Koaksiyel Gauss silindiri (Gaussian cylinder), yarıçap $r$ , boy $L$ ; kapaklardan akı yok.

$r\lt R$ : $Q_{\text{encl}} = \lambda L \Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ (dışa).
$r\gt R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = \lambda L + \sigma(2\pi RL)\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{\lambda + 2\pi R\sigma}{2\pi\varepsilon_0r}.\end{aligned}$

(b) $\lambda + 2\pi R\sigma = 0 \Rightarrow \sigma = -\frac{\lambda}{2\pi R}$ .

(c) İç taraf $r\to R^-$ : $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0R)$ ; dış taraf $0$ . Zıplama $E_{\text{out}} - E_{\text{in}} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0R} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ . Tutuyor.

Soru 5orta

Three infinite parallel nonconducting sheets are perpendicular to the $x$ -axis. They are located at $x=0$ , $x=a$ and $x=2a$ and carry uniform surface charge densities $+\sigma$ , $-2\sigma$ and $+\sigma$ respectively ( $\sigma\gt 0$ ).

(a) [12 Pts.] Find $\vec E$ in the four regions $x\lt 0$ , $0\lt x\lt a$ , $a\lt x\lt 2a$ , $x\gt 2a$ .
(b) [4 Pts.] Sketch $E_x(x)$ .
(c) [6 Pts.] Find $V(0) - V(a)$ and $V(0) - V(2a)$ .

Cevapları göster

(a)

$0$ ; $+\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat i$ ; $-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat i$ ; $0$

(b)

step function: $0 \to +\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \to -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \to 0$ , jumps at $x = 0, a, 2a$

(c)

$V(0)-V(a) = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0}$ ; $V(0)-V(2a) = 0$

Tam çözüm

Her ince levha (sheet) $|E| = \sigma_i/(2\varepsilon_0)$ ; pozitifse uzağa, negatifse kendine doğru. Birim $\sigma/(2\varepsilon_0)$ cinsinden $x$ -bileşenlerini yaz:

bölge	$+\sigma$ @0	$-2\sigma$ @ $a$	$+\sigma$ @ $2a$	toplam
$x\lt 0$	$-1$	$+2$	$-1$	$0$
$0\lt x\lt a$	$+1$	$+2$	$-1$	$+2$
$a\lt x\lt 2a$	$+1$	$-2$	$-1$	$-2$
$x\gt 2a$	$+1$	$-2$	$+1$	$0$

(a) $x\lt 0$ : $0$ ; $0\lt x\lt a$ : $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat\imath$ ; $a\lt x\lt 2a$ : $-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat\imath$ ; $x\gt 2a$ : $0$ .

(b) Basamak fonksiyonu: $0 \to +\sigma/\varepsilon_0 \to -\sigma/\varepsilon_0 \to 0$ . Zıplamalar sırayla $+\sigma/\varepsilon_0$ , $-2\sigma/\varepsilon_0$ , $+\sigma/\varepsilon_0$ ; her biri o levhanın $\sigma/\varepsilon_0$ 'ı.

(c) $V(0)-V(a) = \int_0^a E_x dx = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0}$ . $V(0)-V(2a) = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma a}{\varepsilon_0} = 0$ .

Soru 6öncelikli · orta

A solid conducting sphere of radius $a$ carries charge $+Q$ . It is concentric with a thick conducting spherical shell of inner radius $b$ and outer radius $c$ , which carries a net charge $-3Q$ .

(a) [12 Pts.] Find the electric field (magnitude and direction) for $r\lt a$ , $a\lt r\lt b$ , $b\lt r\lt c$ , $r\gt c$ .
(b) [8 Pts.] Find the charge on the inner and outer surfaces of the shell and the surface charge density on the outer surface.
(c) [6 Pts.] Find the potential difference $V(a) - V(b)$ .

Cevapları göster

(a)

$0$ ; $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ out; $0$ ; $\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r^2}$ inward

(b)

inner $-Q$ , outer $-2Q$ , $\sigma_{\text{out}} = -\frac{Q}{2\pi c^2}$

(c)

$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a - \frac1b\right)$

Tam çözüm

(a) Küresel Gauss yüzeyleri (Gaussian surfaces):

$r\lt a$ : iletken içi, $E=0$ .
$a\lt r\lt b$ : $Q_{\text{encl}} = Q \Rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ dışa.
$b\lt r\lt c$ : iletken içi, $E=0$ .
$r\gt c$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = Q - 3Q = -2Q\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}$ içe.

(b) Kabuğun içinden geçen Gauss yüzeyinde $\begin{aligned}&E = 0 \Rightarrow Q_{\text{encl}} = 0\\ &\quad \Rightarrow Q_{\text{inner}} = -Q.\end{aligned}$ $Q_{\text{outer}} = -3Q - (-Q) = -2Q$ .
$\sigma_{\text{outer}} = \frac{-2Q}{4\pi c^2} = -\frac{Q}{2\pi c^2}$ .

(c) $\begin{aligned}&V(a)-V(b) = \int_a^b \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr\\ &\quad = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac1a - \frac1b\Big).\end{aligned}$

Soru 7sınav ayarı

A nonconducting sphere of radius $R$ has a charge density that increases with distance from the center:
$\rho(r) = \rho_0\frac{r^2}{R^2},\qquad 0\le r\le R,$
with $\rho_0\gt 0$ .

(a) [6 Pts.] Find the total charge $Q$ of the sphere.
(b) [10 Pts.] Find $E(r)$ inside and outside the sphere.
(c) [6 Pts.] Find the two radii (one inside, one outside) at which the field magnitude is half of its value at the surface.
(d) [8 Pts.] Find the potential difference $V(0) - V(R)$ .

Cevapları göster

(a)

$Q = \frac{4\pi\rho_0 R^3}{5}$

(b)

$\frac{\rho_0 r^3}{5\varepsilon_0 R^2}$ inside; $\frac{\rho_0 R^3}{5\varepsilon_0 r^2}$ outside

(c)

$r = 2^{-1/3}R$ and $r = \sqrt2\,R$

(d)

$\frac{\rho_0 R^2}{20\varepsilon_0}$

Tam çözüm

Küresel simetri (spherical symmetry); yarıçap $r$ eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere). $\rho$ sabit değil $\Rightarrow$ integral:
$\begin{aligned}&Q_{\text{encl}}(r) = \int_0^r \rho_0\frac{r'^2}{R^2}4\pi r'^2dr'\\ &\quad = \frac{4\pi\rho_0 r^5}{5R^2}\end{aligned}$

(a) $Q = \frac{4\pi\rho_0R^3}{5}$ .

(b) İçeride: $E\,4\pi r^2 = \frac{4\pi\rho_0r^5}{5R^2\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\rho_0r^3}{5\varepsilon_0R^2}$ .
Dışarıda: $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{\rho_0R^3}{5\varepsilon_0r^2}$ . $r=R$ 'de ikisi de $\rho_0R/(5\varepsilon_0)$ , sürekli.

(c) İçeride $\begin{aligned}&r^3/R^3 = 1/2 \Rightarrow r = R/\sqrt[3]{2}\\ &\quad = 2^{-1/3}R.\end{aligned}$ Dışarıda $R^2/r^2 = 1/2 \Rightarrow r = \sqrt2R$ .

(d) $\begin{aligned}&V(0)-V(R) = \int_0^R\frac{\rho_0r^3}{5\varepsilon_0R^2}dr\\ &\quad = \frac{\rho_0R^2}{20\varepsilon_0}.\end{aligned}$

Soru 8sınav ayarı

A thick nonconducting spherical shell, inner radius $a$ and outer radius $b$ , has volume charge density
$\rho(r) = \frac{A}{r},\qquad a\lt r\lt b,$
where $A\gt 0$ is a constant. A point charge $q$ sits at the center, and there is no other charge.

(a) [8 Pts.] Find the charge enclosed by a concentric sphere of radius $r$ , for $a\lt r\lt b$ .
(b) [6 Pts.] Find $E(r)$ for $a\lt r\lt b$ .
(c) [8 Pts.] Find the value of $q$ (in terms of $A$ and $a$ ) for which the field magnitude is the same everywhere inside the shell material ( $a\lt r\lt b$ ). What is that field?
(d) [6 Pts.] With this $q$ , find $E$ for $r\lt a$ and for $r\gt b$ , and check continuity at $r=a$ and $r=b$ .

Cevapları göster

(a)

$q + 2\pi A(r^2 - a^2)$

(b)

$\frac{q + 2\pi A(r^2 - a^2)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

(c)

$q = 2\pi Aa^2$ , $E = \frac{A}{2\varepsilon_0}$

(d)

$\frac{Aa^2}{2\varepsilon_0 r^2}$ for $r\lt a$ ; $\frac{Ab^2}{2\varepsilon_0 r^2}$ for $r\gt b$

Tam çözüm

(a) Kabuğun $a$ – $r$ arası + merkezdeki yük:
$\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = q + \int_a^r\frac{A}{r'}4\pi r'^2dr'\\ &\quad = q + 2\pi A(r^2 - a^2)\end{aligned}$

(b) Küresel Gauss yüzeyi (Gaussian surface):
$\begin{aligned}&E(r) = \frac{q + 2\pi A(r^2-a^2)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\ &\quad = \frac{A}{2\varepsilon_0} + \frac{q - 2\pi Aa^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\end{aligned}$

(c) $r$ 'ye bağlı terim yok olmalı: $q = 2\pi Aa^2$ . O zaman $E = \frac{A}{2\varepsilon_0}$ , dışa doğru, sabit.

(d) $r\lt a$ : sadece $q$ : $E = \frac{2\pi Aa^2}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{Aa^2}{2\varepsilon_0r^2}$ . $r=a$ 'da $A/(2\varepsilon_0)$ ✓.
$r\gt b$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{tot}} = 2\pi Aa^2 + 2\pi A(b^2-a^2)\\ &\quad = 2\pi Ab^2 \Rightarrow E = \frac{Ab^2}{2\varepsilon_0r^2}.\end{aligned}$ $r=b$ 'de $A/(2\varepsilon_0)$ ✓. Yüzey yükü olmadığı için iki sınırda da süreklilik bekleniyordu.

Soru 9sınav ayarı

Sınav ikizi: 2023-24 Bahar MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A very long nonconducting solid cylinder of radius $R$ has volume charge density $\rho(r) = \rho_0\,r/R$ , where $r$ is the distance from its axis and $\rho_0\gt 0$ . It is surrounded by a coaxial, uncharged conducting cylindrical shell of inner radius $2R$ and outer radius $3R$ .

(a) [8 Pts.] Find the charge per unit length $\lambda$ of the nonconducting cylinder.
(b) [12 Pts.] Find $E(r)$ for $r\lt R$ , $R\lt r\lt 2R$ , $2R\lt r\lt 3R$ , $r\gt 3R$ .
(c) [6 Pts.] Find the surface charge densities on the inner and outer surfaces of the conducting shell.
(d) [8 Pts.] Find the potential difference between the axis and the inner surface of the shell, $V(0) - V(2R)$ .

Cevapları göster

(a)

$\lambda = \frac{2\pi\rho_0 R^2}{3}$

(b)

$\frac{\rho_0 r^2}{3\varepsilon_0 R}$ ; $\frac{\rho_0 R^2}{3\varepsilon_0 r}$ ; $0$ ; $\frac{\rho_0 R^2}{3\varepsilon_0 r}$

(c)

$\sigma_{\text{in}} = -\frac{\rho_0 R}{6}$ , $\sigma_{\text{out}} = +\frac{\rho_0 R}{9}$

(d)

$\frac{\rho_0 R^2}{\varepsilon_0}\left(\frac19 + \frac{\ln2}{3}\right)$

Tam çözüm

Koaksiyel Gauss silindiri (Gaussian cylinder) (yarıçap $r$ , boy $L$ ): $E\,2\pi rL = \lambda_{\text{encl}}L/\varepsilon_0$ .

(a) $\begin{aligned}&\lambda_{\text{encl}}(r) = \int_0^r \rho_0\frac{r'}{R}2\pi r'dr'\\ &\quad = \frac{2\pi\rho_0r^3}{3R},\end{aligned}$ $\lambda = \lambda_{\text{encl}}(R) = \frac{2\pi\rho_0R^2}{3}$ .

(b)

$r\lt R$ : $E = \frac{\lambda_{\text{encl}}}{2\pi\varepsilon_0r} = \frac{\rho_0r^2}{3\varepsilon_0R}$ .
$R\lt r\lt 2R$ : $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} = \frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0r}$ .
$2R\lt r\lt 3R$ : iletken içi, $E=0$ .
$r\gt 3R$ : kabuk nötr $\Rightarrow \lambda_{\text{encl}} = \lambda \Rightarrow E = \frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0r}$ . Hepsi dışa doğru.

(c) İç yüzey $-\lambda$ , dış yüzey $+\lambda$ (birim boy başına):
$\sigma_{\text{in}} = \frac{-\lambda}{2\pi(2R)} = -\frac{\rho_0R}{6}$ , $\sigma_{\text{out}} = \frac{\lambda}{2\pi(3R)} = \frac{\rho_0R}{9}$ .

(d)
$\begin{aligned}&V(0)-V(2R)\\ &\quad = \int_0^R\frac{\rho_0r^2}{3\varepsilon_0R}dr + \int_R^{2R}\frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0r}dr\\ &\quad = \frac{\rho_0R^2}{9\varepsilon_0} + \frac{\rho_0R^2\ln2}{3\varepsilon_0}\end{aligned}$

Soru 10kolay

An irregularly shaped, initially neutral conductor contains a hollow cavity. A point charge $+5.0\ \mu\mathrm C$ is held inside the cavity without touching the walls. Use $1/\varepsilon_0 = 36\pi\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ .

(a) [4 Pts.] What is the net flux through a closed surface that lies entirely inside the conducting material and surrounds the cavity?
(b) [6 Pts.] How much charge is on the cavity wall, and how much on the outer surface of the conductor?
(c) [4 Pts.] An extra $+2.0\ \mu\mathrm C$ is now placed on the conductor. What are the new charges on the cavity wall and on the outer surface?
(d) [4 Pts.] In the situation of (c), find the net flux through a closed surface enclosing the whole conductor.

Cevapları göster

(a)

$0$

(b)

wall $-5.0\,\mu\text{C}$ , outer $+5.0\,\mu\text{C}$

(c)

wall $-5.0\,\mu\text{C}$ , outer $+7.0\,\mu\text{C}$

(d)

$2.52\pi\times10^5 \approx 7.9\times10^5\,\text{N·m}^2\text{/C}$

Tam çözüm

(a) İletken içinde $E=0$ her noktada $\Rightarrow \Phi_E = 0$ (o yüzden $Q_{\text{encl}}=0$ ).

(b) $Q_{\text{encl}}=0$ için oyuk duvarında $-5.0\ \mu\mathrm C$ . İletken nötr $\Rightarrow$ dış yüzeyde $+5.0\ \mu\mathrm C$ .

(c) Duvar yine $-5.0\ \mu\mathrm C$ (iletken içindeki yüzeyin $Q_{\text{encl}}=0$ şartı değişmedi). Ek yük dışarı gider: dış yüzey $+7.0\ \mu\mathrm C$ .

(d) $Q_{\text{encl}} = 5 + 2 = 7\ \mu\mathrm C$ : $\begin{aligned}&\Phi_E = 7\times10^{-6}\cdot 36\pi\times10^9\\ &\quad = 2.52\pi\times10^5\\ &\quad \approx 7.9\times10^5\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$

Soru 11sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

An infinite nonconducting slab occupies $-d\lt z\lt d$ . Its volume charge density varies linearly across the thickness:
$\rho(z) = \rho_0\frac{z}{d},\qquad -d\lt z\lt d,$
with $\rho_0\gt 0$ (so the upper half is positive and the lower half negative).

(a) [6 Pts.] Find the charge per unit area of the slab. Argue that $\vec E = 0$ everywhere outside the slab.
(b) [12 Pts.] Using a Gaussian pillbox with one face outside the slab, find $\vec E(z)$ inside the slab.
(c) [4 Pts.] Where is $|\vec E|$ maximum, and what is its value?
(d) [8 Pts.] Find $V(d) - V(-d)$ . Which face is at higher potential?

Cevapları göster

(a)

$0$ ; $E = 0$ outside

(b)

$\vec E = -\frac{\rho_0(d^2 - z^2)}{2\varepsilon_0 d}\,\hat k$

(c)

$z = 0$ , $\frac{\rho_0 d}{2\varepsilon_0}$

(d)

$\frac{2\rho_0 d^2}{3\varepsilon_0}$ , upper face higher

Tam çözüm

(a) Birim alan başına yük $\int_{-d}^{d}\rho_0 z/d\,dz = 0$ (tek fonksiyon). Levhayı ince tabakalara (sheet) böl: her tabaka dışarıda $\sigma_i/(2\varepsilon_0)$ 'lık düzgün alan verir, yönü tabakadan uzağa. Levhanın üstündeki bir noktada hepsi aynı formülle toplanır: $E_z = \sum\sigma_i/(2\varepsilon_0) = 0$ . Altta da aynı. Yani dışarıda $\vec E = 0$ .

(b) Silindirik kutu (pillbox): kesit $A$ , üst yüz $z_1\gt d$ 'de ( $E=0$ , akı yok), alt yüz $z$ 'de (normal $-\hat k$ ). Yan yüzlerden akı yok.
$\begin{aligned}&\oint\vec E\cdot d\vec A = -E_z(z)A\\ &\quad = \frac{A}{\varepsilon_0}\int_z^d\rho_0\frac{z'}{d}dz'\\ &\quad = \frac{A\rho_0(d^2-z^2)}{2d\varepsilon_0}\end{aligned}$
$\vec E(z) = -\frac{\rho_0(d^2-z^2)}{2\varepsilon_0d}\,\hat k$
Alan levhanın her yerinde $-\hat k$ yönünde: pozitif üst yarıdan negatif alt yarıya. Sınırlarda $0$ , sürekli ✓.

(c) $z=0$ 'da, $|E|_{\max} = \frac{\rho_0d}{2\varepsilon_0}$ .

(d) $\begin{aligned}&V(d)-V(-d) = -\int_{-d}^{d}E_z\,dz\\ &\quad = \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0d}\int_{-d}^{d}(d^2-z^2)dz\\ &\quad = \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0d}\cdot\frac{4d^3}{3} = \frac{2\rho_0d^2}{3\varepsilon_0}.\end{aligned}$ Üst yüz ( $z=d$ ) daha yüksek potansiyelde.

Soru 12orta

A nonconducting sphere of radius $R$ carries total charge $+Q$ uniformly distributed in its volume. A narrow tunnel is drilled along a diameter (it does not affect the field). A small particle of mass $m$ and charge $-q$ ( $q\gt 0$ ) is released from rest inside the tunnel at a distance $R/2$ from the center. Ignore gravity.

(a) [8 Pts.] Find the force on the particle when it is at distance $r\lt R$ from the center.
(b) [8 Pts.] Show that the particle executes simple harmonic motion and find its angular frequency $\omega$ .
(c) [6 Pts.] Find the speed of the particle as it passes through the center.

Cevapları göster

(a)

$F = \frac{qQr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ , toward the center

(b)

$\omega = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 mR^3}}$

(c)

$v = \frac12\sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 mR}}$

Tam çözüm

(a) Gauss ile içerideki alan: $E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ , dışa doğru. Yük negatif $\Rightarrow$ kuvvet merkeze doğru:
$\vec F = -\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,r\,\hat r$

(b) Tünel boyunca koordinat $x$ : $m\ddot x = -\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0R^3}x$ . Bu $\ddot x = -\omega^2x$ formunda (Hooke yayı gibi, $k_{\text{eff}} = qQ/(4\pi\varepsilon_0R^3)$ ):
$\omega = \sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0mR^3}}$

(c) Basit harmonik hareket (SHM), genlik $R/2$ (durgun bırakıldı): $v_{\max} = \omega\frac R2 = \frac12\sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0mR}}$ .
Enerji ile sağlama: $\begin{aligned}&\tfrac12mv^2 = \int_0^{R/2}k_{\text{eff}}x\,dx\\ &\quad = \tfrac12k_{\text{eff}}(R/2)^2\end{aligned}$ ✓.

Soru 13orta

A large, thin, flat conducting plate has area $A = 1.0\ \mathrm m^2$ (each face) and net charge $Q = +17.7\ \mathrm{nC}$ . Ignore edge effects and use $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ .

(a) [5 Pts.] Find the surface charge density on each face of the plate and the magnitude of $\vec E$ just outside each face. Justify with a Gaussian pillbox.
(b) [4 Pts.] The plate is replaced by a thin nonconducting sheet of the same area carrying the same $Q$ uniformly. Find $E$ on either side and compare with (a).
(c) [6 Pts.] A second, identical conducting plate carrying $-17.7\ \mathrm{nC}$ is placed parallel to the first at a separation $d = 5.0\ \mathrm{mm}$ . Find the charge on each of the four faces, and $E$ between the plates and outside them.
(d) [5 Pts.] A proton ( $e = 1.6\times10^{-19}\ \mathrm C$ ) is released from rest at the positive plate in (c). Find its kinetic energy when it reaches the negative plate.

Cevapları göster

(a)

$\sigma = 8.85\,\text{nC/m}^2$ on each face; $E = 1.0\times10^3\,\text{N/C}$ on both sides, away from plate

(b)

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 1.0\times10^3\,\text{N/C}$ , same as (a)

(c)

inner faces $\pm17.7\,\text{nC}$ , outer faces $0$ ; $E = 2.0\times10^3\,\text{N/C}$ between, $0$ outside

(d)

$K = 1.6\times10^{-18}\,\text{J}$

Tam çözüm

(a) İletkende yük dış yüzeylere oturur; simetriden iki yüze eşit bölünür: $\sigma_{\text{face}} = Q/(2A) = 8.85\ \mathrm{nC/m^2}$ . Silindirik kutu (pillbox): bir kapak plakanın içinde ( $E=0$ ), biri dışında $\Rightarrow EA' = \sigma_{\text{face}}A'/\varepsilon_0$ :
$\begin{aligned}&E = \frac{\sigma_{\text{face}}}{\varepsilon_0} = \frac{8.85\times10^{-9}}{8.85\times10^{-12}}\\ &\quad = 1.0\times10^3\ \mathrm{N/C},\end{aligned}$ her iki yanda plakadan dışarı doğru.

(b) Yalıtkan levha: $\sigma = Q/A = 17.7\ \mathrm{nC/m^2}$ , silindirik kutunun iki kapağından akı $\Rightarrow E = \sigma/(2\varepsilon_0) = 1.0\times10^3\ \mathrm{N/C}$ . Aynı. $\sigma/\varepsilon_0$ ile $\sigma/2\varepsilon_0$ farkı sadece $\sigma$ 'nın nasıl tanımlandığından: iletkende her yüzün yükü $Q/2$ .

(c) Zıt yükler birbirini çeker, yükler iç yüzlere geçer: iç yüzler $+17.7$ ve $-17.7\ \mathrm{nC}$ , dış yüzler $0$ . (Kontrol: dış bölgede iki levhanın alanı birbirini götürür, iletken içinde $E=0$ şartı ancak böyle sağlanır.) Arada $\sigma = 17.7\ \mathrm{nC/m^2}$ :
$\begin{aligned}&E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 2.0\times10^3\ \mathrm{N/C},\\ &E_{\text{out}} = 0.\end{aligned}$
Arada alan $+$ plakadan $-$ plakaya doğru.

(d) Düzgün alan, iş $W = eEd$ :
$\begin{aligned}&K = eEd\\ &\quad = (1.6\times10^{-19})(2.0\times10^3)\\ &\qquad\times(5.0\times10^{-3})\\ &\quad = 1.6\times10^{-18}\ \mathrm J.\end{aligned}$

Soru 14orta

Two concentric thin nonconducting spherical shells have radii $R$ and $2R$ . The inner shell carries a uniform surface charge density $+\sigma$ ( $\sigma\gt 0$ ) and the outer shell a uniform surface charge density $\sigma_2$ .

(a) [9 Pts.] Using Gauss's law, find the magnitude of the electric field for $r\lt R$ , $R\lt r\lt 2R$ and $r\gt 2R$ in terms of $\sigma$ , $\sigma_2$ , $R$ , $r$ .
(b) [5 Pts.] Find $\sigma_2$ (in terms of $\sigma$ ) such that the field vanishes everywhere outside the outer shell.
(c) [5 Pts.] With $\sigma_2$ from part (b), take $\sigma = 8.85\ \mathrm{nC/m^2}$ , $R = 10\ \mathrm{cm}$ and $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ . Find the field just outside the inner shell and just inside the outer shell.
(d) [6 Pts.] Keep $\sigma_2$ from part (b) and the numbers of part (c). A closed cube of side $3R$ is centered on the shells. Can Gauss's law alone give the flux through it? Then find the flux through any closed surface lying entirely between the two shells that encloses the inner shell, and through a sphere of radius $3R$ . A student says: "the flux through the radius- $3R$ sphere is zero, so $\vec E$ must be zero on any surface enclosing both shells." Is the reasoning valid in general? Explain in one or two sentences.

Cevapları göster

(a)

$0$ ( $r\lt R$ ); $\frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ ( $R\lt r\lt 2R$ ); $\frac{(\sigma+4\sigma_2)R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ ( $r\gt 2R$ )

(b)

$\sigma_2 = -\frac{\sigma}{4}$

(c)

$1.0\times10^3\,\text{N/C}$ just outside inner shell; $2.5\times10^2\,\text{N/C}$ just inside outer shell

(d)

Cube cuts the outer shell, so Gauss alone does not give it; any surface enclosing only the inner shell: $40\pi\,\text{N·m}^2\text{/C}$ ; radius- $3R$ sphere: $0$ . Zero flux $\not\Rightarrow E=0$ in general; here $E=0$ follows from symmetry.

Tam çözüm

Simetri küresel; yarıçapı $r$ olan eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere): $E\,4\pi r^2 = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ .

(a) $r\lt R$ : $Q_{\text{encl}}=0\Rightarrow E=0$ .
$R\lt r\lt 2R$ : $Q_{\text{encl}} = 4\pi R^2\sigma \Rightarrow E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ (dışa doğru).
$r\gt 2R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = 4\pi R^2\sigma + 4\pi(2R)^2\sigma_2\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{(\sigma + 4\sigma_2)R^2}{\varepsilon_0 r^2}.\end{aligned}$

(b) Dışarıda $\begin{aligned}&E = 0 \iff \sigma+4\sigma_2 = 0\\ &\quad \Rightarrow \sigma_2 = -\sigma/4.\end{aligned}$ Dikkat: yoğunluklar eşit değil, toplam yükler eşit ve zıt; dış kabuğun alanı 4 kat büyük.

(c) İç kabuğun hemen dışı ( $r=R^+$ ): $\begin{aligned}&E = \sigma/\varepsilon_0\\ &\quad = 8.85\times10^{-9}/8.85\times10^{-12}\\ &\quad = 1.0\times10^3\ \mathrm{N/C}.\end{aligned}$
Dış kabuğun hemen içi ( $r=2R^-$ ): $E = \sigma/(4\varepsilon_0) = 2.5\times10^2\ \mathrm{N/C}$ .

(d) Küp: kenar $3R$ $\Rightarrow$ yüzleri merkezden $1.5R$ 'de, köşeleri $1.5\sqrt3R\approx2.6R$ 'de. İç kabuk tamamen içeride, ama dış kabuk ( $2R$ ) küpü kesiyor: kabuğun bir kısmı içeride, bir kısmı dışarıda. Gauss yasası yine doğru ( $\Phi=Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ ), fakat $Q_{\text{encl}}$ için kabuğun küp içinde kalan alanını bulmak gerekir, basit Gauss argümanı yetmez. Sınavda bu "tuzak" sorusunda doğru cevap: hayır, geometri hesabı olmadan bulunamaz.
İç kabuğu saran, dış kabuğa değmeyen her kapalı yüzey için
$\begin{aligned}&\Phi = \frac{4\pi R^2\sigma}{\varepsilon_0}\\ &\quad = 4\pi(0.10)^2(1.0\times10^3)\\ &\quad = 40\pi\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$
Yarıçapı $3R$ olan küre: $Q_{\text{encl}} = 0\Rightarrow \Phi = 0$ .
Öğrencinin akıl yürütmesi genelde yanlış: $\Phi=0$ yalnızca alanın yüzey üzerindeki integralinin sıfır olduğunu söyler; alan bir yerde içe bir yerde dışa olabilir. Burada $E=0$ olmasının sebebi akı değil, küresel simetri ( $E$ yüzeyde sabit ve radyal) + akının sıfır olması.

Soru 15orta

A thick nonconducting spherical shell has inner radius $R$ and outer radius $2R$ . It carries a uniform volume charge density $\rho\gt 0$ between $R$ and $2R$ ; the cavity $r\lt R$ is empty and there is no other charge.

(a) [12 Pts.] Find the magnitude of the electric field for $r\lt R$ , $R\lt r\lt 2R$ and $r\gt 2R$ .
(b) [5 Pts.] Take $\rho = 1.0\ \mathrm{nC/m^3}$ , $R = 10\ \mathrm{cm}$ and $1/\varepsilon_0 = 36\pi\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ . Find $E$ at the outer surface (leave $\pi$ in the answer).
(c) [6 Pts.] Find the potential difference $V(R) - V(2R)$ . What is $V(0) - V(R)$ ?
(d) [5 Pts.] The cavity is surrounded by positive charge, yet $E=0$ inside it. Explain why, and state whether the same conclusion holds for a uniformly charged thick cubical shell.

Cevapları göster

(a)

$0$ ( $r\lt R$ ); $\frac{\rho(r^3-R^3)}{3\varepsilon_0 r^2}$ ( $R\lt r\lt 2R$ ); $\frac{7\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ ( $r\gt 2R$ )

(b)

$E(2R) = \frac{7\rho R}{12\varepsilon_0} = 2.1\pi\,\text{N/C} \approx 6.6\,\text{N/C}$

(c)

$V(R)-V(2R) = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$ ; $V(0)-V(R) = 0$

(d)

Spherical symmetry makes $E$ radial and constant on the Gaussian sphere, so zero flux $\Rightarrow E=0$ . A cubical shell lacks that symmetry: flux is still zero but $E$ in the cavity is generally nonzero.

Tam çözüm

Eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere), $E\,4\pi r^2 = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ .

(a) $r\lt R$ : $Q_{\text{encl}}=0 \Rightarrow E = 0$ .
$R\lt r\lt 2R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = \rho\,\tfrac43\pi(r^3-R^3)\\ &\quad \Rightarrow E = \frac{\rho\,(r^3-R^3)}{3\varepsilon_0 r^2}.\end{aligned}$
$r\gt 2R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = \rho\,\tfrac43\pi(8R^3-R^3)\\ &\quad = \tfrac{28}{3}\pi\rho R^3 \Rightarrow E = \frac{7\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}.\end{aligned}$
Kontrol: $r=2R$ 'de ikisi de $7\rho R/(12\varepsilon_0)$ , sürekli. ✔

(b) $\begin{aligned}&E(2R) = \frac{7\rho R}{12\varepsilon_0}\\ &\quad = \frac{7(10^{-9})(0.10)(36\pi\times10^{9})}{12}\\ &\quad = 2.1\pi\ \mathrm{N/C}.\end{aligned}$

(c) $\begin{aligned}&V(R)-V(2R)\\ &\quad = \int_R^{2R}\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Big(r-\frac{R^3}{r^2}\Big)dr\\ &\quad = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Big[\frac{3R^2}{2} - \frac{R^2}{2}\Big] = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}.\end{aligned}$
Boşlukta $E=0 \Rightarrow V$ sabit: $V(0)-V(R)=0$ .

(d) Gauss sadece $\oint \vec E\cdot d\vec A = 0$ der; $E=0$ sonucunu küresel simetri verir ( $E$ radyal ve yüzeyde sabit $\Rightarrow E\cdot4\pi r^2=0$ ). Kübik kabukta simetri yok: akı yine sıfır ama alan boşluğun içinde genelde sıfır değil (köşelere yakın yük daha fazla). Yani "içeride yük yok $\Rightarrow E=0$ " kuralı simetri olmadan geçmez; sadece iletken kabukta (elektrostatik denge) her şekil için geçerli.

Soru 16öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Bahar MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A nonconducting solid sphere of radius $R$ carries charge $+Q$ uniformly distributed through its volume. It is concentric with a thick conducting spherical shell of inner radius $2R$ and outer radius $3R$ that carries an unknown net charge $q_s$ . A cross section is shown.

(a) [12 Pts.] Find the magnitude of the electric field as a function of $r$ for $r\lt R$ , $R\lt r\lt 2R$ , $2R\lt r\lt 3R$ and $r\gt 3R$ (in terms of $Q$ , $q_s$ , $R$ , $r$ ).
(b) [6 Pts.] Find the charge and the surface charge density on the inner surface ( $r=2R$ ) and on the outer surface ( $r=3R$ ) of the conducting shell.
(c) [7 Pts.] It is measured that the field at $r=6R$ points toward the center and has the same magnitude as the field at $r=R/2$ . Find $q_s$ in terms of $Q$ .
(d) [5 Pts.] Find the potential difference $V(0) - V(R)$ .

Cevapları göster

(a)

$\frac{kQr}{R^3}$ ( $r\lt R$ ); $\frac{kQ}{r^2}$ ( $R\lt r\lt 2R$ ); $0$ ( $2R\lt r\lt 3R$ ); $\frac{k|Q+q_s|}{r^2}$ ( $r\gt 3R$ )

(b)

inner: $-Q$ , $\sigma = -\frac{Q}{16\pi R^2}$ ; outer: $Q+q_s$ , $\sigma = \frac{Q+q_s}{36\pi R^2}$

(c)

$q_s = -19Q$

(d)

$V(0)-V(R) = \frac{kQ}{2R} = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R}$

Tam çözüm

Bu, son 5 MT1'in ikisinde gelen kalıp ("küre + kabuk, bölge bölge $E$ ": 2024-25 Bahar MT1 Q2, 2025-26 Bahar MT1 Q3), ama ters çevrilmiş: yalıtkan içte, iletken dışta, ve kabuğun yükü bilinmiyor; ölçümden geri bulacaksın.

Eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere): $E\,4\pi r^2 = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ , $k=1/4\pi\varepsilon_0$ .

(a)

$r\lt R$ : $Q_{\text{encl}} = Q r^3/R^3 \Rightarrow E = \frac{kQr}{R^3}$ .
$R\lt r\lt 2R$ : $E = \frac{kQ}{r^2}$ .
$2R\lt r\lt 3R$ : iletkenin içi $\Rightarrow E=0$ .
$r\gt 3R$ : $Q_{\text{encl}} = Q+q_s \Rightarrow E = \frac{k\,|Q+q_s|}{r^2}$ .

(b) İletkenin içinde $E=0$ $\Rightarrow$ $2R\lt r\lt 3R$ arası Gauss yüzeyi $Q_{\text{encl}}=0$ görmeli: iç yüzeyde $-Q$ . Kalan $q_s-(-Q) = Q+q_s$ dış yüzeye gider.
$\begin{aligned}&\sigma_{2R} = \frac{-Q}{4\pi(2R)^2} = -\frac{Q}{16\pi R^2},\\ &\sigma_{3R} = \frac{Q+q_s}{4\pi(3R)^2} = \frac{Q+q_s}{36\pi R^2}.\end{aligned}$

(c) $E(R/2) = \frac{kQ(R/2)}{R^3} = \frac{kQ}{2R^2}$ . $r=6R$ 'de alan merkeze doğru $\Rightarrow Q+q_s\lt 0$ :
$\begin{aligned}&\frac{k\,(Q+q_s)}{36R^2} = -\frac{kQ}{2R^2}\\ &\quad \Rightarrow \ Q+q_s = -18Q\\ &\quad \Rightarrow \ q_s = -19Q.\end{aligned}$
Tuzak: " $|E|$ eşit" deyip işareti unutursan $q_s=17Q$ bulursun; yön bilgisi tam bunun için verildi.

(d) $\begin{aligned}&V(0)-V(R) = \int_0^R \frac{kQr}{R^3}dr\\ &\quad = \frac{kQ}{2R} = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R}.\end{aligned}$

Soru 17öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Bahar MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A point charge $+Q$ is fixed at the center of a thick nonconducting spherical shell of inner radius $a$ and outer radius $2a$ . The shell's volume charge density is
$\rho(r) = \frac{\beta}{r^2},\quad a\lt r\lt 2a,$
where $\beta$ is an unknown constant. The shell is enclosed by a thin, concentric conducting spherical shell of radius $3a$ that is connected to ground ( $V=0$ , with $V(\infty)=0$ ). It is observed that the electric field is zero everywhere in the gap $2a\lt r\lt 3a$ .

(a) [6 Pts.] Find $\beta$ in terms of $Q$ and $a$ . What is the total charge of the nonconducting shell?
(b) [10 Pts.] Find the magnitude and direction of the electric field for $r\lt a$ and for $a\lt r\lt 2a$ . Evaluate it at $r = 3a/2$ .
(c) [6 Pts.] Find the charge on the grounded conducting shell and the field for $r\gt 3a$ .
(d) [8 Pts.] Find the potential $V(a)$ of the inner surface of the nonconducting shell.

Cevapları göster

(a)

$\beta = -\frac{Q}{4\pi a}$ ; shell total charge $-Q$

(b)

$\frac{kQ}{r^2}$ outward ( $r\lt a$ ); $\frac{kQ(2a-r)}{a r^2}$ outward ( $a\lt r\lt 2a$ ); $E(3a/2) = \frac{2kQ}{9a^2} = \frac{Q}{18\pi\varepsilon_0 a^2}$

(c)

$q_{\text{ground}} = 0$ ; $E = 0$ for $r\gt 3a$

(d)

$V(a) = \frac{kQ}{a}(1 - \ln2) = \frac{Q(1 - \ln2)}{4\pi\varepsilon_0 a}$

Tam çözüm

İletken + düzgün olmayan $\rho$ 'lu yalıtkan kabuk kalıbı, bu sefer tersinden: yük dağılımını bir gözlemden ( $2a$ – $3a$ arası alan sıfır) geri bulacaksın. Eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere): $E\,4\pi r^2 = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ , $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ .

(a) Boşlukta $E=0$ ise, yarıçapı $2a\lt r\lt 3a$ olan Gauss küresinin içindeki net yük sıfır:
$\begin{aligned}&q_{\text{shell}} = \int_a^{2a}\frac{\beta}{r^2}\,4\pi r^2\,dr = 4\pi\beta a,\\ &Q + 4\pi\beta a = 0\\ &\quad\Rightarrow \beta = -\frac{Q}{4\pi a}.\end{aligned}$
Yalıtkan kabuğun toplam yükü $-Q$ ( $\beta$ 'nın negatif çıkması normal).

(b)

$r\lt a$ : sadece nokta yük, $E = \frac{kQ}{r^2}$ , dışa doğru.
$a\lt r\lt 2a$ : kabuğun $r$ 'ye kadarki yükü $4\pi\beta(r-a) = -Q\,\frac{r-a}{a}$ :
$\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = Q - Q\,\frac{r-a}{a} = Q\,\frac{2a-r}{a},\\ &E = \frac{kQ\,(2a-r)}{a\,r^2}\ \text{(dışa)}.\end{aligned}$
$r=3a/2$ : $E = \frac{kQ\,(a/2)}{a\cdot\frac94a^2} = \frac{2kQ}{9a^2} = \frac{Q}{18\pi\varepsilon_0a^2}$ .
Süreklilik kontrolü: $r=a$ 'da iki formül de $kQ/a^2$ , $r=2a$ 'da $0$ veriyor (yüzey yükü yok). ✔

(c) Boşlukta $E=0$ , yani topraklı kabuğun içinden gelen alan yok. Dışarıda $Q_{\text{encl}} = q_g$ (kabuğun yükü), $E = kq_g/r^2$ ve $V(3a) = kq_g/(3a)$ . Toprak $V(3a)=0$ istiyor $\Rightarrow q_g = 0$ . Topraklı kabukta yük yok, $r\gt 3a$ 'da $E=0$ .

(d) $V(3a)=0$ ve $2a$ – $3a$ arası $E=0$ $\Rightarrow V(2a)=0$ . Alan dışa doğru, içeri gidince potansiyel artar:
$\begin{aligned}&V(a) = \int_a^{2a}\frac{kQ}{a}\Big(\frac{2a}{r^2}-\frac1r\Big)dr\\ &\quad = \frac{kQ}{a}\Big[1 - \ln2\Big]\\ &\quad = \frac{Q\,(1-\ln2)}{4\pi\varepsilon_0 a}.\end{aligned}$
( $1-\ln2\approx0.31$ , pozitif: mantıklı, içeride net pozitif yük var.)

Soru 18öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

In a toy "plum-pudding" model of an ion, the positive charge $+3e$ is spread uniformly through a sphere of radius $R$ . Three electrons (each $-e$ ) sit inside it at the vertices of an equilateral triangle whose center coincides with the center of the sphere; each electron is a distance $d\lt R$ from the center. The electrons are free to move only radially, and the positive sphere is fixed.

(a) [6 Pts.] Using Gauss's law, find the electric field of the positive sphere (alone) at distance $r\lt R$ from its center.
(b) [4 Pts.] Find the force exerted by the positive sphere on one electron (magnitude and direction).
(c) [8 Pts.] Find the net force exerted on one electron by the other two electrons, and give its direction.
(d) [6 Pts.] Find the equilibrium distance $d$ in terms of $R$ .
(e) [6 Pts.] With the electrons at equilibrium, find the net electric flux through a concentric sphere of radius $R/2$ and through one of radius $R$ .

Cevapları göster

(a)

$E = \frac{3ke\,r}{R^3} = \frac{3e\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ , radially outward

(b)

$\frac{3ke^2d}{R^3}$ toward the center

(c)

$\frac{ke^2}{\sqrt3\,d^2}$ radially outward

(d)

$d = \frac{R}{\sqrt3}$

(e)

$\Phi(R/2) = \frac{3e}{8\varepsilon_0}$ ; $\Phi(R) = 0$

Tam çözüm

2024-25 Güz MT1'deki Thomson-helyum sorusunun bir adım ötesi: iki değil üç elektron, itmeler artık açılı, bileşen almak gerekiyor.

(a) Gauss küresi (Gaussian sphere), yarıçap $r\lt R$ : $Q_{\text{encl}} = 3e\,r^3/R^3$
$\begin{aligned}&E\,4\pi r^2 = \frac{3e r^3}{\varepsilon_0R^3} \Rightarrow \ E = \frac{3e\,r}{4\pi\varepsilon_0R^3}\\ &\quad = \frac{3ke\,r}{R^3}\quad (\text{dışa doğru}).\end{aligned}$

(b) $F_{\text{sph}} = eE(d) = \frac{3ke^2d}{R^3}$ , elektron negatif $\Rightarrow$ merkeze doğru.

(c) Eşkenar üçgen, merkezden uzaklık $d$ $\Rightarrow$ kenar $s=\sqrt3\,d$ . Her itme $ke^2/s^2 = ke^2/(3d^2)$ . İki itme, radyal doğrultuyla $30^\circ$ yapar; teğet bileşenler birbirini götürür:
$\begin{aligned}&F_{\text{ee}} = 2\cdot\frac{ke^2}{3d^2}\cos30^\circ = \frac{ke^2}{\sqrt3\,d^2}\\ &\quad (\text{radyal, dışa doğru}).\end{aligned}$

(d) Denge: $\begin{aligned}&\frac{3ke^2d}{R^3} = \frac{ke^2}{\sqrt3 d^2} \Rightarrow d^3 = \frac{R^3}{3\sqrt3}\\ &\quad = \frac{R^3}{3^{3/2}} \Rightarrow d = \frac{R}{\sqrt3}.\end{aligned}$
Kontrol: $d\approx0.58R\lt R$ ✔ (elektronlar gerçekten kürenin içinde, (a)'daki formül geçerli).

(e) $r=R/2\lt d$ : elektronlar dışarıda, $Q_{\text{encl}} = 3e/8 \Rightarrow \Phi = \frac{3e}{8\varepsilon_0}$ .
$r=R$ : $Q_{\text{encl}} = 3e - 3e = 0 \Rightarrow \Phi = 0$ (iyon nötr). Not: akı sıfır, ama küre yüzeyinde $E$ sıfır değil, çünkü elektronlar simetrik değil.

Soru 19sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Bahar MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A very long solid conducting cylinder of radius $R$ carries charge $+\lambda$ per unit length. It is coaxial with a very long thick nonconducting cylindrical shell of inner radius $2R$ and outer radius $3R$ , which carries a uniform volume charge density $\rho$ and a total charge $-\lambda$ per unit length.

(a) [4 Pts.] Find $\rho$ in terms of $\lambda$ and $R$ .
(b) [14 Pts.] Find the magnitude of the electric field for $r\lt R$ , $R\lt r\lt 2R$ , $2R\lt r\lt 3R$ and $r\gt 3R$ , where $r$ is the distance from the axis.
(c) [7 Pts.] Find the potential difference $V(R) - V(3R)$ .
(d) [5 Pts.] In a real device the cylinders have a finite length $L\gg 3R$ . Explain why the result of (b) is still accurate near the middle but fails near the ends. What specific step of the Gauss's-law argument breaks down there?

Cevapları göster

(a)

$\rho = -\frac{\lambda}{5\pi R^2}$

(b)

$0$ ( $r\lt R$ ); $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ ( $R\lt r\lt 2R$ ); $\frac{\lambda(9R^2-r^2)}{10\pi\varepsilon_0 R^2 r}$ ( $2R\lt r\lt 3R$ ); $0$ ( $r\gt 3R$ )

(c)

$V(R)-V(3R) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\ln 2 + \frac95\ln\frac32 - \frac12\right]$

(d)

Near the ends the field is no longer purely radial and uniform on the Gaussian cylinder (end caps get flux), so the step $E\cdot2\pi r\ell = \lambda\ell/\varepsilon_0$ fails; Gauss's law itself still holds.

Tam çözüm

2024-25 Bahar MT1 Q2'deki "iletken + zıt yüklü yalıtkan kalın kabuk" kalıbının silindir hali; Gauss yüzeyi 2023-24 Bahar MT1 Q3'teki koaksiyel silindirlerle aynı. Gauss yüzeyi (Gaussian surface): yarıçapı $r$ , uzunluğu $\ell$ olan eş eksenli silindir. Kapaklarda akı yok (alan radyal): $E\,2\pi r\ell = \lambda_{\text{encl}}\ell/\varepsilon_0$ .

(a) $\begin{aligned}&\rho\,\pi\big[(3R)^2-(2R)^2\big] = -\lambda\\ &\quad \Rightarrow \rho = -\frac{\lambda}{5\pi R^2}.\end{aligned}$

(b)

$r\lt R$ : iletken $\Rightarrow E=0$ .
$R\lt r\lt 2R$ : $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ .
$2R\lt r\lt 3R$ : $\begin{aligned}&\lambda_{\text{encl}} = \lambda + \rho\pi(r^2-4R^2)\\ &\quad = \lambda\frac{9R^2-r^2}{5R^2}\end{aligned}$
$E = \frac{\lambda\,(9R^2-r^2)}{10\pi\varepsilon_0R^2\,r}.$
$r\gt 3R$ : $\lambda_{\text{encl}}=0\Rightarrow E=0$ .
Kontrol: $r=2R$ 'de $\lambda/(4\pi\varepsilon_0R)$ iki taraftan da, $r=3R$ 'de 0. ✔

(c)
$\begin{aligned}&V(R)-V(3R) = \int_R^{2R}\frac{\lambda\,dr}{2\pi\varepsilon_0 r}\\ &+ \int_{2R}^{3R}\frac{\lambda}{10\pi\varepsilon_0R^2}\Big(\frac{9R^2}{r}-r\Big)dr\end{aligned}$
$\begin{aligned}& = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln2 + \frac{\lambda}{10\pi\varepsilon_0}\Big[9\ln\frac32 - \frac52\Big]\\ &\quad = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\Big[\ln2 + \frac95\ln\frac32 - \frac12\Big].\end{aligned}$

(d) Gauss yasası sonlu silindirde de doğrudur; bozulan şey simetri argümanı. Ortada uç etkileri ihmal edilebilir: alan radyal, $r$ 'ye bağlı tek değişken, kapaklardan akı yok. Uçlara yakın alan çizgileri bükülür ( $E_z\neq0$ ), $E$ Gauss silindirinin yan yüzeyinde sabit değil ve kapaklardan akı geçer, dolayısıyla " $E\cdot 2\pi r\ell$ " adımı geçersiz olur.

Soru 20öncelikli · sınav ayarı

Sınav ikizi: 2025-26 Güz MT1 Q3 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

Two infinite nonconducting slabs are in contact, both perpendicular to the $x$ -axis. Slab 1 occupies $-d\lt x\lt 0$ with uniform charge density $+\rho$ ; slab 2 occupies $0\lt x\lt d$ with uniform charge density $-2\rho$ ( $\rho\gt 0$ ).

(a) [8 Pts.] Using a Gaussian pillbox, find the electric field of a single infinite slab of thickness $t$ and uniform density $\rho_s$ , both inside and outside it.
(b) [12 Pts.] Using superposition, find $E_x(x)$ in the four regions $x\lt -d$ , $-d\lt x\lt 0$ , $0\lt x\lt d$ , $x\gt d$ .
(c) [5 Pts.] Where is $|E|$ largest and what is its value? At which point is $E_x=0$ ?
(d) [7 Pts.] Find $V(3d/4) - V(-d)$ . Is the potential at $x=3d/4$ a local maximum or a local minimum? Justify.

Cevapları göster

(a)

inside: $\frac{\rho_s|x-x_0|}{\varepsilon_0}$ ( $x_0$ = mid-plane); outside: $\frac{\rho_s t}{2\varepsilon_0}$ , away from slab for $\rho_s\gt0$

(b)

$x\lt-d$ : $+\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$ ; $-d\lt x\lt0$ : $\frac{\rho(2x+3d)}{2\varepsilon_0}$ ; $0\lt x\lt d$ : $\frac{\rho(3d-4x)}{2\varepsilon_0}$ ; $x\gt d$ : $-\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$

(c)

$|E|_{\max} = \frac{3\rho d}{2\varepsilon_0}$ at $x=0$ ; $E=0$ at $x=3d/4$

(d)

$V(3d/4)-V(-d) = -\frac{25\rho d^2}{16\varepsilon_0}$ ; local minimum

Tam çözüm

2025-26 Güz MT1'deki "iki kalın levha" kalıbı, ama yoğunluklar eşit değil: toplam yük sıfır değil, dışarıda alan var ve simetri yok. Bu yüzden tek bir simetrik silindirik kutu (pillbox) yetmez: her levhayı ayrı çöz, topla.

(a) Levha ortası $x_0$ olsun. Simetriden $E$ ortada sıfır, iki tarafa zıt yönlü. Bir yüzü ortada, diğeri $x$ 'te olan silindirik kutu (alan $A$ ):
içeride $\begin{aligned}&E\,A = \rho_s A|x-x_0|/\varepsilon_0\\ &\quad \Rightarrow E = \rho_s|x-x_0|/\varepsilon_0\end{aligned}$ ;
dışarıda $E = \frac{\rho_s t}{2\varepsilon_0}$ (levhadan dışa, $\rho_s\gt 0$ ise). Kısa yol: $E_x(x) = \frac{1}{2\varepsilon_0}\big[\sigma_{\text{sol}}(x)-\sigma_{\text{sağ}}(x)\big]$ (birim alan başına solda ve sağda kalan yük).

(b) Toplam yük/alan: $\rho d - 2\rho d = -\rho d$ .

$x\lt -d$ : $E_x = \frac{0-(-\rho d)}{2\varepsilon_0} = +\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$ (net negatif yüke doğru ✔).
$-d\lt x\lt 0$ : sol $=\rho(x+d)$ $\Rightarrow E_x = \frac{\rho(2x+3d)}{2\varepsilon_0}$ .
$0\lt x\lt d$ : sol $=\rho d-2\rho x$ $\Rightarrow E_x = \frac{\rho(3d-4x)}{2\varepsilon_0}$ .
$x\gt d$ : $E_x = -\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$ .
Süreklilik: $x=-d$ : $\rho d/2\varepsilon_0$ ; $x=0$ : $3\rho d/2\varepsilon_0$ ; $x=d$ : $-\rho d/2\varepsilon_0$ . ✔

(c) $E_x$ ilk levhada artıyor, ikincide azalıyor $\Rightarrow$ maksimum $x=0$ 'da (yük işaretinin değiştiği arayüz): $|E|_{\max} = \frac{3\rho d}{2\varepsilon_0}$ . Sıfır: $3d-4x=0 \Rightarrow x = 3d/4$ (ilk levhadaki aday $x=-3d/2$ bölge dışında).

(d) $\begin{aligned}&V\big(\tfrac{3d}{4}\big)-V(-d)\\ &\quad = -\int_{-d}^{0}\frac{\rho(2x+3d)}{2\varepsilon_0}dx\\ &\qquad - \int_0^{3d/4}\frac{\rho(3d-4x)}{2\varepsilon_0}dx\\ &\quad = -\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Big[2d^2 + \frac{9d^2}{8}\Big]\\ &\quad = -\frac{25\rho d^2}{16\varepsilon_0}.\end{aligned}$
$dV/dx = -E_x$ : $x\lt 3d/4$ 'te $E_x\gt 0$ (V azalıyor), $x\gt 3d/4$ 'te $E_x\lt 0$ (V artıyor) $\Rightarrow$ yerel minimum. Negatif yük bölgesinde potansiyel çukuru, mantıklı.

Soru 21sınav ayarı

A solid conducting sphere of radius $a$ is concentric with a thin conducting spherical shell of radius $b\gt a$ .

Part I. The inner sphere carries charge $+Q$ and the outer shell is connected to ground ( $V=0$ , with $V(\infty)=0$ ).
(a) [10 Pts.] Find the charge on the inner and outer surfaces of the shell, and the field $E(r)$ in the regions $r\lt a$ , $a\lt r\lt b$ , $r\gt b$ .
(b) [5 Pts.] Find the potential of the inner sphere.

Part II. The ground connection is removed from the shell and instead the inner sphere is grounded through a thin insulated wire passing through a tiny hole in the shell. The shell is given a net charge $+Q$ .
(c) [10 Pts.] Find the charge $q$ on the inner sphere in terms of $Q$ , $a$ , $b$ .
(d) [6 Pts.] Take $a = 10\ \mathrm{cm}$ , $b = 30\ \mathrm{cm}$ , $Q = 9.0\ \mathrm{nC}$ , $k = 9.0\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ . Find $q$ , the potential of the shell in Part II, and the potential of the inner sphere in Part I.

Cevapları göster

(a)

shell inner surface $-Q$ , outer surface $0$ ; $E = 0$ ( $r\lt a$ ), $\frac{kQ}{r^2}$ ( $a\lt r\lt b$ ), $0$ ( $r\gt b$ )

(b)

$V = kQ\left(\frac1a - \frac1b\right)$

(c)

$q = -\frac{a}{b}\,Q$

(d)

$q = -3.0\,\text{nC}$ ; $V_{\text{shell}} = 180\,\text{V}$ ; $V_{\text{inner}}$ (Part I) $= 540\,\text{V}$

Tam çözüm

Burada Gauss + "iletken = eşpotansiyel" birlikte çalışıyor. Topraklama = $V=0$ şartı, yük sabit değil, akması serbest.

(a) İç yüzey: kabuğun metali içinde $E=0$ $\Rightarrow$ iç yüzeyde $-Q$ . Dış yüzey: kabuk topraklı, $V(b)=0=V(\infty)$ ; dışarıda yük $q_{\text{out}}$ olsaydı $V(b)=kq_{\text{out}}/b\neq0$ olurdu $\Rightarrow q_{\text{out}}=0$ .
$E$ : $r\lt a$ : $0$ (iletken); $a\lt r\lt b$ : $kQ/r^2$ ; $r\gt b$ : $0$ .

(b) $\begin{aligned}&V(a) = V(b) + \int_a^b\frac{kQ}{r^2}dr\\ &\quad = kQ\Big(\frac1a-\frac1b\Big).\end{aligned}$

(c) İç kürede $q$ olsun. Kabuk iç yüzeyi $-q$ , dış yüzeyi $Q+q$ (toplam $Q$ ). Kürenin merkezindeki potansiyel = üç küresel yük tabakasının katkısı:
$\begin{aligned}&V_{\text{in}} = \frac{kq}{a} - \frac{kq}{b} + \frac{k(Q+q)}{b}\\ &\quad = \frac{kq}{a} + \frac{kQ}{b} = 0 \Rightarrow \ q = -\frac{a}{b}Q.\end{aligned}$
Sezgi: topraklı küre, kabuğun pozitif potansiyelini "sıfırlamak" için negatif yük çeker; ama $|q|\lt Q$ .

(d) $q = -\tfrac13(9.0) = -3.0\ \mathrm{nC}$ .
Kabuk (Part II): $\begin{aligned}&V(b) = \frac{k(Q+q)}{b}\\ &\quad = \frac{9\times10^9\cdot6.0\times10^{-9}}{0.30}\\ &\quad = 180\ \mathrm V.\end{aligned}$
İç küre (Part I): $\begin{aligned}&kQ(1/a-1/b) = 81\,(10-\tfrac{10}{3})\\ &\quad = 540\ \mathrm V.\end{aligned}$

Soru 22sınav ayarı

A nonconducting sphere of radius $R$ , centered at $O$ , has uniform volume charge density $\rho\gt 0$ . A spherical cavity of radius $b$ is carved out of it; the cavity's center $C$ is at position $\vec d$ relative to $O$ , with $d+b\lt R$ and $d\gt b$ . The cavity is empty.

(a) [6 Pts.] For the full sphere (no cavity), show with Gauss's law that the field at position $\vec r$ inside it is $\vec E = \frac{\rho\,\vec r}{3\varepsilon_0}$ .
(b) [10 Pts.] Show that the field everywhere inside the cavity is uniform, and find it in terms of $\rho$ and $\vec d$ .
(c) [6 Pts.] Find the field (magnitude and direction) at the center $O$ of the big sphere.
(d) [4 Pts.] Take $\rho = 1.0\ \mathrm{nC/m^3}$ , $d = 5.0\ \mathrm{cm}$ , $1/\varepsilon_0 = 36\pi\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ . Find the field magnitude in the cavity (leave $\pi$ ).
(e) [4 Pts.] A small positive test charge is released from rest inside the cavity. Describe its motion while it stays in the cavity.

Cevapları göster

(a)

$\vec E = \frac{\rho\,\vec r}{3\varepsilon_0}$

(b)

$\vec E = \frac{\rho\,\vec d}{3\varepsilon_0}$ , uniform, along O→C

(c)

$\frac{\rho b^3}{3\varepsilon_0 d^2}$ , directed from O toward C

(d)

$0.6\pi\,\text{N/C} \approx 1.9\,\text{N/C}$

(e)

Straight-line motion along $\vec d$ with constant acceleration $\frac{q\rho d}{3\varepsilon_0 m}$

Tam çözüm

Gauss tek başına bu soruyu çözemez (simetri yok!); hile süperpozisyon: boşluk = " $+\rho$ dolu küre" + " $-\rho$ küçük küre".

(a) Merkezi $O$ , yarıçapı $r\lt R$ Gauss küresi (Gaussian sphere): $\begin{aligned}&E\,4\pi r^2 = \rho\tfrac43\pi r^3/\varepsilon_0\\ &\quad \Rightarrow E = \rho r/(3\varepsilon_0),\end{aligned}$ radyal dışa. Vektörel: $\vec E = \rho\vec r/(3\varepsilon_0)$ .

(b) Boşluktaki bir $P$ noktası, $O$ 'ya göre $\vec r$ , $C$ 'ye göre $\vec r' = \vec r-\vec d$ .
$\begin{aligned}&\vec E_P = \frac{\rho\,\vec r}{3\varepsilon_0} + \frac{(-\rho)\,{\vec r}'}{3\varepsilon_0}\\ &\quad = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec r - \vec r + \vec d) = \frac{\rho\,\vec d}{3\varepsilon_0}.\end{aligned}$
$\vec r$ düştü $\Rightarrow$ alan boşluğun her yerinde aynı: büyüklük $\rho d/(3\varepsilon_0)$ , yön $O\to C$ .

(c) $O$ 'da: dolu küre $0$ verir. $-\rho$ küçük küre için $O$ dışarıda ( $d\gt b$ ), nokta yük gibi davranır: yük $-\rho\tfrac43\pi b^3$ , uzaklık $d$
$E_O = \frac{\rho\,b^3}{3\varepsilon_0 d^2},$
yönü $O\to C$ (negatif yüke doğru).

(d) $\begin{aligned}&E = \frac{\rho d}{3\varepsilon_0}\\ &\quad = \frac{(10^{-9})(0.050)(36\pi\times10^9)}{3}\\ &\quad = 0.6\pi\ \mathrm{N/C}.\end{aligned}$

(e) Alan düzgün ve sabit $\Rightarrow$ kuvvet sabit $q\vec E$ . Durgun bırakılan pozitif yük $\vec d$ yönünde ( $O\to C$ ) düzgün ivmeli doğrusal hareket yapar, $a = q\rho d/(3\varepsilon_0 m)$ , boşluk duvarına çarpana kadar.

Soru 23sınav ayarı

Sınav ikizi: 2024-25 Güz MT1 Q2 kalıbı, yeni sayılar ve kurgu.

A nonconducting sphere of radius $R$ carries charge $+Q$ uniformly distributed through its volume. A point charge $-q$ ( $0\lt q\lt Q$ ) is fixed at its center.

(a) [10 Pts.] Find the radial component $E_r(r)$ of the electric field for $0\lt r\lt R$ and $r\gt R$ (sign included; positive = outward).
(b) [5 Pts.] For $q = Q/8$ , find the radius $r_0$ at which the field vanishes.
(c) [6 Pts.] Take $Q = 8.0\ \mathrm{nC}$ , $q = 1.0\ \mathrm{nC}$ and $1/\varepsilon_0 = 36\pi\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ . Find the electric flux through concentric spheres of radius $R/4$ and $R$ .
(d) [6 Pts.] Imagine a narrow radial tunnel in which a tiny charged bead can move. Is $r=r_0$ a position of stable or unstable radial equilibrium for a positive bead? For a negative bead? Explain using the sign of $E_r$ on either side of $r_0$ .
(e) [6 Pts.] For $q=Q/8$ , find $V(r_0) - V(R)$ .

Cevapları göster

(a)

$E_r = k\left(\frac{Qr}{R^3} - \frac{q}{r^2}\right)$ for $r\lt R$ ; $\frac{k(Q-q)}{r^2}$ for $r\gt R$

(b)

$r_0 = R\left(\frac{q}{Q}\right)^{1/3} = \frac{R}{2}$

(c)

$\Phi(R/4) = -31.5\pi\,\text{N·m}^2\text{/C}$ ; $\Phi(R) = 252\pi\,\text{N·m}^2\text{/C}$

(d)

Unstable for a positive bead, stable for a negative bead ( $E_r\lt0$ inside $r_0$ , $\gt0$ outside)

(e)

$V(r_0)-V(R) = \frac{kQ}{4R} = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 R}$

Tam çözüm

Eş merkezli Gauss küresi (Gaussian sphere), $E_r\,4\pi r^2 = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0$ .

(a) $r\lt R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = -q + Q\frac{r^3}{R^3}\\ &\quad \Rightarrow E_r = k\Big(\frac{Qr}{R^3} - \frac{q}{r^2}\Big).\end{aligned}$
$r\gt R$ : $E_r = \frac{k(Q-q)}{r^2}$ (dışa, çünkü $Q\gt q$ ).

(b) $\begin{aligned}&E_r = 0 \Rightarrow Qr_0^3 = qR^3\\ &\quad \Rightarrow r_0 = R\,(q/Q)^{1/3} = R/2.\end{aligned}$

(c) $r=R/4$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = -1.0 + 8.0/64\\ &\quad = -0.875\ \mathrm{nC}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\Phi = Q_{\text{encl}}/\varepsilon_0\\ &\quad = -0.875\times10^{-9}\cdot36\pi\times10^9\\ &\quad = -31.5\pi\ \mathrm{N\,m^2/C}\end{aligned}$ (içe doğru net akı).
$r=R$ : $\begin{aligned}&Q_{\text{encl}} = 7.0\ \mathrm{nC}\\ &\quad \Rightarrow \Phi = 252\pi\ \mathrm{N\,m^2/C}.\end{aligned}$

(d) $r\lt r_0$ : $E_r\lt 0$ (içe), $r\gt r_0$ : $E_r\gt 0$ (dışa); alan $r_0$ 'dan uzaklaşıyor.
Pozitif boncuk: biraz dışarı itersen dışa kuvvet, içeri itersen içe kuvvet $\Rightarrow$ kararsız.
Negatif boncuk: kuvvet $-|q|E$ ters yönde, hep $r_0$ 'a geri çağırır $\Rightarrow$ kararlı.

(e) $\begin{aligned}&V(r_0)-V(R) = \int_{R/2}^{R}E_r\,dr\\ &\quad = k\Big[\frac{Qr^2}{2R^3} + \frac{q}{r}\Big]_{R/2}^{R}\\ &\quad = k\Big[\frac{3Q}{8R} - \frac{q}{R}\Big] \overset{q=Q/8}{=} \frac{kQ}{4R}\\ &\quad = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_0R}.\end{aligned}$
$E_r\gt 0$ bu aralıkta, yani $V$ dışa doğru azalır; pozitif sonuç tutarlı. ✔

Diğer 3 ünite pakette.

Son 5 sınavın röntgeni, kalan güne göre plan, prova sınavı, günde 60 soruluk asistan. 999 TL, tek ödeme.

Tüm paketi gör